Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
—00
172
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
гдевыражается формулой (ЗЛа). Вводя, как и выше, безразмерную переменную
и безразмерный параметр
Ч* = (4.7)
мы приходим к формуле, аналогичной соотношению (4.4):
p = Nv Ф./,Ю. (4.8)
Здесь Nv есть эффективная плотность состояний в валентной зоне:
( 2mnBkT У /г Nv = ^ ( (2лй)2 ) ’
а ф./г (г] *) — прежний интеграл Ферми (4.5). Однако теперь он содержит другой параметр т] *, характеризующий положение уровня Ферми относительно края валентной зоны. Разность
r\ = Ev — F = — t, — Eg
есть химический потенциал для дырок.
Формулы (4.4) и (4.8) справедливы для полупроводника, однородного по составу и в отсутствие внешних полей. Легко обобщить их на случай, когда в образце имеется электрическое поле с потенциалом ф, плавно (в смысле, указанном в § IV.6) изменяющимся в пространстве. Действительно, в этом случае применимо представление об искривленных зонах и, следовательно, величины Ес и Ev надо заменить на Ес — ец> и Ev — e<р, где Ес и Ех, — энергии краев зон при ср = 0. Поэтому, если Ц есть безразмерный химический потенциал при <р = 0, то выражение для концентрации электронов принимает вид
л =*=ЛГСФ,/, (?? + $-). (4.4а)
Аналогично, для концентрации дырок получаем
{¦а* - -е<^ kT
§ 5. Невырожденные полупроводники
p = Nv ФЧ'Ы*-т. (4.8а)
Выражения (4.4) и (4.8) для концентраций значительно упрощаются для невырожденных полупроводников. Такой случай показан на рис. 5.3, где даны плотность квантовых состояний Nc (Е), функция Ферми / (Е, Т), а также их произведение, равное dnjdE (здесь dn — концентрация электронов с энергией в интервале Е, Е + dE). Полное количество электронов в зоне определяется пло-
НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
173
щадью, ограниченной кривой Nc (Е) / (Е, Т) и осью Е. При этом существен только «хвост» распределения Ферми, который может быть аппроксимирован распределением Максвелла — Больцмана.
Для невырожденного полупроводника в формуле (4.5) мы имеем ехр (х — ?*) 1, и поэтому интеграл Ферми принимает вид
e~xx'li dx.
Ф’/* (?*) = ехр ?,* ¦ j Входящий сюда интеграл хорошо известен и равен
ОО со
^ erxx'!t dx = 2 jj e~*2z2 dz = у о о
Поэтому
Ф‘/Л?*)==ехр?* = exp
F-Ec
'kT
и, следовательно,
n — Nc exp
F-Ee
kT
(5-1)
Аналогично упрощается выражение для концентрации дырок в невырожденном полупроводнике. Здесь в интеграле Ферми можно положить ехр (у — г|*) 1,
и поэтому, поступая, как и выше, мы имеем
p = Nv ехр F~lyF. (5.2)
Полученные выражения (5.1) и (5.2) разъясняют смысл названия «эффективная плотность состояний» в зонах для величин Nc и Nv. Экспоненциальный множитель в выражении (5.1) для невырожденного полупроводника (распределение Максвелла — Больцмана) дает вероятность заполнения квантового состояния с энергией Ес. Поэтому формула (5.1) обозначает, что для невырожденного полупроводника концентрация подвижных электронов получается такой ж*?, как если бы, вместо непрерывного распределения состояний в зоне, в каждой единице объема было Nc состояний с одинаковой энергией Ес. Аналогично, экспоненциальный множитель в (5.2) выражает вероятность того, что состояние с энергией Ev не занято электроном, и. потому формула (5.2) показывает, что при подсчете концентрации дырок валентную зону можно заменить
Рис. 5.3. Схематический ход функций Nc (Е) и / (Е, Т) и dnidE для невырожденного полупроводника п-типа.
174
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
совокупностью состояний с одинаковой энергией Ev, число которых в каждой единице объема есть Nv.
Полагая в выражении (4.3) тп равным массе изолированного электрона т0 и Т = 300 К, мы получаем N„ = 2,510-Ю19 см-3. Для какой-либо другой температуры и иной эффективной массы мы имеем
WtW = 2,510.10»(^),/,(5Jr),/‘ смЛ (5.3)
где т„(Р) — эффективная масса электронов или, соответственно, дырок. В невырожденных полупроводниках концентрация основных носителей мала по сравнению с Nc и N„. В вырожденных полупроводниках имеет место обратное. Поэтому, сопоставляя измеренные значения концентрации электронов и дырок со значениями Nc и Nv, определяемыми соотношением (5.3), можно сразу установить, является ли данный полупроводник вырожденным или нет.
Так как эффективная масса входит в выражения для пир только в виде множителя /гс3/\ в то время как уровень Ферми F входит в показатель степени, то отношение п!р зависит главным образом от положения F относительно краев зон. Выражения
(5.1) и (5.2) показывают, что концентрация подвижных носителей заряда будет больше в той зоне, к которой ближе расположен уровень Ферми. Носители заряда в этой'ближайшей зоне будут основными, поэтому в полупроводниках n-типа уровень Ферми расположен в верхней половине запрещенной зоны, а в полупроводниках р-типа — в нижней половине. Исключение могут составить узкозонные полупроводники, в которых тп и тр могут сильно отличаться.
