Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Мы знаем, однако, что в силу условия нормировки (II 1.2.8) компоненты квазиволнового вектора должны быть вещественными. Действительно, в противном случае волновая функция электрона содержала бы множитель
exp (—zlmk). (6.9)
При любом знаке Im k выражение (6.9) расходится на бесконечности — либо при г -> + оо, либо при z —> — оо. Единственный способ избежать этой расходимости состоит в том, чтобы выбрать в данной области энергий тривиальное решение: ф = 0. Это и означает, что электрон в запрещенной зоне находиться не может: вероятность обнаружить его там равна нулю.
Итак, значениям энергии, лежащим в запрещенной зоне, формально можно сопоставить ненулевые решения уравнения Шредингера. Эти решения, однако, не осциллируют, а возрастают при одном из способов стремления координаты z к бесконечности, почему и исключаются условием (III.2.8), заменяясь тривиальным ф = 0. Иначе говоря, понятие «запрещенная зона» можно определить двояко:
а) как совокупность значений энергии, не допускаемых условием (II 1.2.8) и потому в идеальном кристалле физически не реализующихся;
б) как совокупность значений энергии, которым отвечают, ненулевые решения с мнимым квазиимпульсом — затухающие или возрастающие на бесконечности.
Для идеального кристалла в отсутствие внешних полей эти два определения идентичны. При наложении электрического поля, однако, положение меняется. Первое определение теперь отпадает, второе же — остается в силе. Действительно, коль скоро потенциальная энергия электрона во внешнем поле остается почти
§ 6] НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 159
постоянной на протяжении многих постоянных решетки, волновые функции его локально будут иметь почти такой же вид, как и в отсутствие поля. Следовательно, сохраняется деление волновых функций на осциллирующие («разрешенная» зона) и затухающие или возрастающие («запрещенная» зона). Границы зон при этом будут зависеть от координат. (Для разрешенной зоны, понимаемой как совокупность дозволенных значений энергии, это было бы бессмысленно: собственные значения уравнения Шредингера, по определению, от координат не зависят.)
Из рис. 4.8 видно, почему в рассматриваемом случае условие ограниченности решения на бесконечности не исключает состояний с мнимым квазиимпульсом. Дело в том, что благодаря наклону зон электрон находится в запрещенной зоне лишь в ограниченной области пространства (так, электрон с энергией Ег находится в запрещенной зоне на участке гх < г < z2). Далее, для любой точки на границе дозволенной зоны запрещенная зона лежит со стороны только меньших или только больших значений z (см., например, точки 2 и 1 на рис. 4.8). Следовательно, существует физически осмысленное решение, при котором z Im k > 0, т. е., согласно (6.9), волновая функция убывает по мере прЬникновения в глубь запрещенной зоны.
Иначе говоря, при наложении электрического поля вероятность обнаружить электрон в запрещенной зоне становится отличной от нуля, но она все же сравнительно невелика. В этом и состоит смысл термина «запрещенная зона» при наличии внешнего электрического поля.
Из сказанного явствует, что электрон во внешнем поле может, не совершая работы, перейти из одной разрешенной зоны в другую. Пусть, например, в начальный момент времени электрон с энергией Ех находится на границе валентной зоны (в точке 2 рис. 4.8). Согласно (6.9) волновая функция его в запрещенной зоне теперь не равна нулю тождественно, а пропорциональна ехр {—(z.2— z) Im k). Следовательно, существует конечная вероятность «просачивания» электрона через запрещенную зону в точку 1, расположенную уже на границе зоны проводимости. Это явление в известной мере аналогично хорошо известному из квантовой механики туннельному переходу электрона из одной потенциальной ямы в другую сквозь разделяющий их потенциальный барьер. Соответственно оно получило название туннельного эффекта *). Вероятность его а?5 тем больше, чем меньше расстояние z.2 — zlf т. е. чем сильнее наклонены зоны. Вычисления, на которых мы не будем останавливаться (см. [1, 3]), показывают, что с точностью
*) Следует, однако, помнить, что аналогия с обычным туннельным эффектом не полна: потенциального барьера в обычном смысле слова запрещенная зонд не представляет.
160 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
до несущественного предэкспоненциального множителя
^~expf--§^, (6.10)
= ’ (6-11)
V
где §0— постоянная, зависящая от параметров кристалла (от ширины запрещенной зоны, расположения экстремумов в зоне Бриллюэна, эффективных масс электрона в зонах проводимости и валентной и т. д.).
Пусть, например, изоэнергетические поверхности вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны суть сферы с центрами в центре зоны Бриллюэна; соответствующие эффективные массы обозначим через тп и — тр (тр > 0). Тогда
п E3’'2m'J’-
W
тпт„
где пгг = —есть приведенная эффективная масса электрона и
