Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Шп -f- trip
дырки. При Eg — \ эВ и mr = 0,lm0 формула (6.11) дает g0~ ~ 107 В /см.
Видно, что в слабых полях (8 < 80) вероятность туннельного эффекта совершенно ничтожна и им можно пренебречь. При этом достаточно рассматривать движение электрона только в одной зоне, т. е. справедливы рассуждения, изложенные в начале этого параграфа. С увеличением напряженности поля вероятность туннельного эффекта быстро возрастает, и при 8 ~ 0,I 80 его уже надо принимать во внимание.
Туннельный эффект может иметь место и в неоднородных электрических полях. С ним связан ряд явлений, наблюдаемых в полупроводниках. Так, он обусловливает один из возможных механизмов пробоя беспримесного образца: в достаточно сильном поле происходит спонтанное образование электронов проводимости и дырок в валентной зоне *). Далее, на этом эффекте основано действие туннельных диодов (см. § VIII. 3).
Наконец, некоторые особенности поглощения света полупроводниками в сильном поле также объясняются туннельным эффектом (§ XVIII. 10).
§ 7. Мелкие примесные уровни в гомеополярном кристалле
Рассмотрим простейшую задачу теории реальных кристаллов — задачу о мелких уровнях, создаваемых в запрещенной зоне изолированными атомами посторонней примеси. Мелкими будем называть
*) Этот механизм — не единственный. По-видимому, в ряде случаев более существенную роль играет механизм ударной ионизации; электрон проводимости, разгоняемый электрическим полем, приобретает энергию, достаточную для того, чтобы «вышибить» другой электрон из валентной зоны.
§ 7] ПРИМЕСНЫЕ УРОВНИ В ГОМЕОПОЛЯРНОМ КРИСТАЛЛЕ 161
уровни, удовлетворяющие неравенству (4.5): расстояние от уровня до границы ближайшей к нему зоны должно быть мало по сравнению с шириной запрещенной зоны. Такие уровни возникают, например, в германии и кремнии при введении туда примесей элементов V и III групп периодической системы (§ II.9). Для расчета этих уровней можно воспользоваться уравнением (4.3) или его обобщениями (4.8) и (4.10). В качестве 6U (г) здесь следует взять потенциальную энергию взаимодействия электрона с атомным остатком донора (или дырки — с акцептором). Точный вид 8U зависит от химической природы примеси, и в общем случае его трудно определить. Для мелких уровней, однако, это обстоятельство не очень существенно, ибо, как мы увидим, главную роль в задаче играют расстояния г между электроном и ядром донора, значительно превышающие линейный размер атомного остатка. Как известно из электростатики, при этом детали, связанные с конкретным видом распределения заряда в атомном остатке, уже не играют роли, и функция 8U (г) дается обычным законом Кулона:
Здесь Z — заряд атомного остатка в единицах е (в интересующем нас случае Z — 1), е — диэлектрическая проницаемость решетки *).
Мы получаем, таким образом, задачу об атоме водорода — с той лишь разницей, что в рассматриваемом случае в выражении (7.1) фигурирует диэлектрическая проницаемость среды, а оператор кинетической энергии, вместо истинной массы электрона, содержит эффективную (или, общее, тензор обратной эффективной массы). Соответственно о модели примесного центра, основанной на использовании выражения (7.1) и метода эффективной массы, говорят как о водородной модели. ¦
Отметим сразу же одно качественное следствие из этой модели, справедливое при любой анизотропии зон: расположение уровней не должно зависеть от химической природы примеси (разумеется, в пределах данной группы периодической системы — например, V группы для доноров и III группы для акцепторов в германии и кремнии). Таким образом, относительная разность между энергиями ионизации различных примесей этого типа в данном кристалле может служить мерой точности водородной модели. Данные таблицы 2.1 показывают, что для примесей III и V групп в Ge Еодородная модель дает неплохое приближение.
*) В рассматриваемом нами случае гомеополярных кристаллов вся поляризуемость безынерционная. Для мелких уровней обл'асть дисперсии е соответствует частотам, значительно превышающим характерное значение где <з7 —
энергия ионизации примеси. Это позволяет считать е просто константой, равной своему статическому значению.
162 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Конкретный расчет особенно прост в случае изотропной эффективной массы. Подставляя выражение (7.1) (при Z = 1) в уравнении (4.3), мы имеем
= (7.2)
Введем характерные единицы длины и энергии:
ей2 р те4 ^
в~~ те*’ 2?№' '
Величины ав и Ев обычно называют боровским радиусом и боров-ской энергией в кристалле.
Будем измерять длину в единицах ав, а энергию — в единицах Ев- Тогда уравнение (7.2) примет вид (мы сохраняем прежние обозначения для безразмерных переменных)
~v*x-7-x = ?x. (7-2,)
Решение уравнения (7.2') можно найти в курсах квантовой механики.
