Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
2 DafiPamj' + би • Ху = Ег,. (4.10)
У' = 1
Здесь — постоянные, определяющиеся структурой зон и играющие ту же роль, что и компоненты тензора обратной эффективной массы для невырожденных зон. При Ы1 = 0 уравнение (4.10) должно приводить к закону дисперсии в идеальном кристалле, что и позволяет выразить коэффициенты D^ через параметры энергетического спектра, определяемые из опыта.
Рассмотрим, например, случай двукратно вырожденных зон в кубическом кристалле. Изоэнергетические поверхности здесь описываются формулой (III.8.6).
СПЕКТР НОСИТЕЛЯ В -ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
149
Полагая в (4.10) 6?/ = 0 и х/ = С,-ехр [—prj, где Су — постоянные, получаем для Cj систему однородных уравнений
2 ®a(PaP$Pj' — ЕС. = 0. (4.11)
/'=1, 2
Условие разрешимости системы (4.11) определяет Е как функцию вектора р. Введя для краткости обозначение
Da&PaP(? = V, <4Л2)
легко находим
Е = Yn+M ± [ (Vn-T22)l + Ti2Y2iJA _ (4ЛЗ)
Это есть не что иное, как формула (III.8.6), причем коэффициенты А, В, С ле:ко выразить через D
Аналогичным образом обстоит дело, если зоны не вырождены, но края их расположены достаточно близко друг от друга, так что условие (4.5) в интересной области энергий все же не выполняется (о таких зонах говорят как о «почти вырожденных»), Такой случай реализуется в полупроводниках с очень малой шири-
ной запрещенной зоны. Роль «почти вырожденных» играют здесь зоны проводи-гости и валентная. При этом также надо пользоваться ье простыми равенствами (4.2) и (4.3), а более сложными (4.9) и (4.10).
Подчеркнем, что деление на «невырожденные» и «почти вырожденные» зоны не является абсолютным. Как видно из предыдущего, оно определяется интервалам энергий, представляющим интерес в том или ином случае. Ориентир здесь дает неравенство (4.5).
§ 5. Энергетический спектр носителя заряда в постоянном и однородном магнитном поле (квантовая теория)
Воспользуемся методом эффективной массы для решения квантовомеханической задачи о движении электрона в постоянном и однородном магнитном поле. Ограничимся для простоты движением электрона со скалярной эффективно# массой у дна невырожденной зоны и будем отсчитывать энергию от произвольного начала отсчета. В отсутствие каких-либо структурных дефектов уравнение (4.3") принимает вид
~ iftV +1 cflj2 г -j- (осВ) % = (Е - Ес) %. (5.1)
Направим ось Z параллельно напряженности магнитного поля. Тогда, в согласии с (4.6), вектор-потенциал можно выбрать в виде
оДх~ е^?г = 0, оДц = (5.2)
При этом коэффициенты в уравнении (5.1) не зависят от координат у и z и можно искать решение в виде.
(5.3)
150 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
где &3 и — вещественные волновые числа, /= — матричная
функция; составляющие ее f+ и /_ соответствуют электрону с положительной и отрицательной z-компонентами спина. Подставляя это
выражение в уравнение (5.1), раскрывая оператор ^
и учитывая, что, согласно (5.2), divcfl = 0, находим два уравнения для функций /±. Их можно записать единым образом, приписывая и энергии Е индекс «±»:
й2 d4+ 1 /, , е ^ \2
“ Ж + Ш [Пк* + С ^х) =
= (?±-?«--^+Pg^)/±. (5.4)
Удобно ввести обозначение
. _ р ________
2т
v± = ?±-?c-^S-+P^ (5-5)
и отсчитывать координату х от точки
(5-6)
(0 =
полагая х — хй-\- х'.
Тогда уравнения (5.4) примут вид Й2 d2f, e*SP -SS-^ + TS2r^V± = vi/±. (5.7)
Формально это есть не что иное, как уравнение Шредингера для гаомонического осциллятора с «коэффициентом упругости»
k= е-э и собственной частотой
тс2
I /~ А /с оч
Решение уравнения (5.7) хорошо известно из квантовой механики. Собственные значения v+ равны
v± = ^coe (л+ 1/2), (5.9)
где п = 0, 1, ... — целое число или нуль, а соответствующие собственные функции суть
/*=у-7, ехр {- ± Я, (i=a). (5.10)
Здесь
НжГ <51»
есть постоянная размерности длины (ее называют магнитной длиной), Нп — полином Эрмита n-го порядка.
СПЕКТР НОСИТЕЛЯ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
151
Комбинируя теперь равенства (5.5) и (5.9), находим п ^ пт
2т
figMi Й0)с (п 1/2).
(5.12)
Первое слагаемое в правой части (5.12) представляет собой кинетическую энергию электрона с импульсом hk3, свободно движущегося вдоль направления магнитного поля. Такой характер движения вполне согласуется с классическими представлениями: компонента силы Лоренца по оси Z равна нулю.
