Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
/(?, Т)= 1+ехр
E — F kT
(3.1)
рака.
Здесь F — электрохимический потенциал, или уровень Ферми, который, в общем случае, тоже зависит от температуры.
Уровень Ферми тесно связан с термодинамическими характеристиками системы. Так, например, его можно определить как приращение свободной энергии системы при добавлении к ней одного электрона при условии постоянства объема и температуры (см. § 11). Однако мы не будем пока входить подробнее" в обсуждение термодинамического смысла F, а будем рассматривать ее как некоторую характерную энергию, зависящую от типа полупроводника, его состава и состояния '(температуры, давления и др.), значение которой подлежит дальнейшему определению. Из выражения (3.1) видно, что уровень Ферми можно также определить как энергию такого квантового состояния, вероятность заполнения которого при данных условиях равна 1/2.
Вид функции Ферми — Дирака схематически показан на рис. 5.2. При Т — О она имеет вид разрывной функции. Для Е < F она равна 1, а, значит, все квантовые состояния с такими энергиями заполнены электронами. Для Е> F функция / — 0 и соответствую-
170
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
щие квантовые состояния совершенно не заполнены. При Т =? 0 функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий, порядка нескольких kT, в окрестности точки Е — F быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура.
Вероятность того, что данное квантовое состояние с энергией Е не занято электроном, fp, есть
/р = (1 ~ = (l + ехР • (ЗЛа)
Вычисление различных статистических величин значительно упрощается, если F лежит в запрещенной зоне энергий и удален от края зоны Ес хотя бы на (2 н- 3)kTt Тогда в распределении (3.1) можно считать
ехР ~W~ ^ 1
и оно переходит в распределение Максвелла — Больцмана классической статистики
f = Cexp(--Jr), (3.16)
где С — постоянная. В этом случае мы говорим, что электронный газ не вырожден. Аналогично, в полупроводнике p-типа для отсутствия вырождения дырочного газа необходимо, чтобы уровень Ферми F тоже лежал внутри запрещенной зоны и был расположен выше энергии Ev хотя бы на (2 -s- 3)kT. Противоположный случай, когда уровень Ферми расположен внутри зоны проводимости или внутри валентной зоны, есть случай вырожденного электронного или, соответственно, дырочного газа. В этом случае существенно необходимо пользоваться распределением Ферми — Дирака (3.1) или (ЗЛа);
В дальнейшем при вычислении концентраций подвижных и связанных носителей заряда мы разделим задачу на две части. А именно, сначала мы выразим эти концентрации через уровень Ферми, а затем рассмотрим, как определить положение самого уровня Ферми,
§ 4. Концентрации электронов и дырок в зонах
Согласно сказанному выше концентрация электронов в зоне проводимости равна
ОО
п= \ Nc (E)f(E, Т) dE. (4.1)
Отметим; что в качестве верхнего предела в написанном интеграле мы должны были бы взять энергию верхнего края зоны проводи-
КОНЦЕНТРАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК в ЗОНАХ
171
мости. Однако так как функция f для значений энергий Е > F быстро убывает с увеличением Е, то замена верхнего предела на оо практически не меняет значения интеграла.
Интеграл (4.1) удобно представить в следующем виде. Выберем новую переменную интегрирования
Величина ? носит название химического потенциала для электронов, а ? * есть его безразмерное значение. Обозначим, наконец, для сокращения
Эта величина получила название эффективной плотности состояний в зоне проводимости (смысл этого названия будет выяснен ниже), Тогда нетрудно убедиться, что интеграл (4.1) принимает вид
Значение интеграла (4.5) зависит только от параметра ? *, т. е. от химического потенциала, и температуры. Этот интеграл известен как интеграл Ферми — Дирака (или, точнее, интеграл Ферми — Дирака с индексом 1/2) и в общем случае не выражается через элементарные функции. Таблица его значений приведена в Приложении III.
Рассуждая аналогично, легко найти и выражение для концентрации положительных дырок в валентной зоне. Отличия от предыдущего случая заключаются лишь в том, что мы, во-первых, должны использовать выражение (2.5) для плотности состояний в валентной зоне. Во-вторых, мы должны подсчитывать не число заполненных, а число незанятых состояний. И, наконец, интегрирование по энергиям нужно производить в пределах валентной зоны. Поэтому
kT
(О sc* sc оо).
Обозначим, далее,
l = F-Ect
(4.2)
(4.3)
л = ЯсФ>/.(?*),
(4.4)
где
ОО
1/2 dx.
1+ехр (х— ?*)
(4.5)
р = \Nv{E)fP(E, Т) dE,
(4.6)
