Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Имеются два участка спектра, соответствующие тому или другому знаку энергии Е.
а) Непрерывный спектр: Е > 0.
Здесь все значения Е дозволены; функция х есть кулоновская волновая функция непрерывного спектра.
Согласно сказанному в § 4 эта область энергий соответствует зоне проводимости. Отличие функции % от плоской волны (4.4) описывает влияние примеси на движение свободных носителей заряда.
б) Дискретный спектр: Е < 0.
Дозволенные значения энергии даются выражением
Ея = -|г. п = 1,2,... (7.4)
«Сглаженная» функция х в данном случае есть кулоновская вол-
новая функция дискретного спектра. В частности, при п = 1 (низший, или основной, уровень) мы имеем (в справедливости этого решения можно убедиться и простой подстановкой)
X = (паь)-1/г ехр (—г/ав). (7.5)
Постоянный множитель здесь выбран в соответствии с обычным
условием нормировки
J !х|* * = 1.
Поскольку начало отсчета энергии у нас совмещено с дном зоны проводимости Ес, дискретные уровни (7.4) лежат в запрещен-
§7] ПРИМЕСНЫЕ УРОВНИ В ГОМЕОПОЛЯРНОМ КРИСТАЛЛЕ J63
пой зоне. Электрон, занимающий один из таких уровней, локализован вблизи атома примеси (соответственно чему эти уровни иногда называют локальными). Наибольшая степень локализации соответствует основному состоянию (я = 1). Тогда, согласно (7.5), «радиус орбиты», т. е. наиболее вероятное расстояние между атомом примеси и электроном, равен ав• При больших значениях п «радиус орбиты» есть пав¦ Из предыдущего ясно, что весь расчет имеет смысл лишь при достаточно слабой локализации электрона, Именно, формула (7.1) оправдана, если
ав>а. (7.6)
Это же условие обеспечивает и возможность использовать метод эффективной массы и представление о диэлектрической проницаемости.
Энергия ионизации s7, т. е. работа, которую надо совершить, чтобы перевести электрон на дно зоны проводимости, есть, очевидно, —?у.
(7-7)
Для германия е = 16. Полагая еще т — 0,2т0, мы получаем из (7.7) s7 = 1,07-Ю"2 эВ, что близко к экспериментальным данным для мелких доноров (табл. 2.1). По этой причине для ориентировочной порядковой оценки величин, характеризующих электроны проводимости в германии, иногда пользуются изотропной моделью с эффективной массой т = 0,2т0. Согласно (7.3) при этом ав = 40 А, что. удовлетворяет неравенству (7.6).
Строгий расчет мелких донорных и акцепторных уровней в германии-и кремнии должен основываться на уравнениях (4.8) и (4.10). Здесь приходится прибегать к приближенным методам расчета, детали которых можно найти в оригинальных статьях [4, 5, 6].
До сих пор мы явно предполагали, что носитель заряда взаимодействует лишь с одним примесным атомом. Фактически атомов примеси всегда много, и, строго говоря, вместо (7.1) надо было бы писать
а(/<г>=-2ттйэт’
I
где индекс i нумерует атомы примеси, a R; есть радиус-вектор t-ro примесного атома. Переход от (7.1') к (7.1) оправдан лишь при достаточно малой концентрации примеси Nt. Именно, пусть носитель заряда локализован на п-м уровне около какого-то примесного атома. Тогда энергия его взаимодействия со всеми остальными атомами примеси должна быть (по абсолютной величине) мала по сравнению с величиной |Еп\ (7.4). По порядку величины названная энергия составляет е2Ы'/3Е~1 (так как среднее расстояние
164 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ ЕГЛ. IV
между примесными атомами — порядка Nt ’/з). Таким образом, должно выполняться неравенство гЕвп~2 егЫ\и или, в силу (7.3)*),
aBn2<NT4\ (7.8)
При нарушении неравенства (7.8) взаимодействие между различными атомами примеси приводит к сдвигу и расщеплению уровней (7.4).
Особый интерес представляют явления, происходящие при перекрытии волновых функций носителей, локализованных у различ-
}ных атомов примеси. Такое пе-Зона рекрытие становится существеи-
лраво шос Ным, когда среднее расстояние
между атомами оказывается сравнимым с радиусом соответствующей орбиты:
NT'1, ~ па,}. (7.9)
При этом происходит в качественном отношении то же самое, что и при образовании кристалла из атомов (ср. § II 1.5): появляется возможность непосредственного (беЗ участия зоны проводимости) туннельного перехода электрона (дырки) с. одного донора (акцептора) на другой. В результате дискретные примесные уровни «размываются», образуя дозволенную область, лежащую в запрещенной зоне (подобно тому как «размываются» уровни регулярных атомов). Эта область называется примесной зоной (рис. 4.9).
Заметим, однако, что аналогия с образованием «собственных» зон кристалла не полна, ибо атомы примеси, вообще говоря, не образуют периодической решетки. По этой причине было бы, например, неправильно приписывать электрону в примесной зоне строго определенный квазиимпульс.
