Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Глава V
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
§ 1. Введение
В предыдущих главах были рассмотрены различные возможные квантовые состояния электронов в кристалле, т. е. различные типы стационарных движений электронов. В состоянии термодинамического равновесия для данного образца кристалла при задан- i ной температуре существует определенное распределение электронов по различным квантовым состояниям. В результате в кристалле устанавливается определенная концентрация свободных электронов п в зоне проводимости и концентрация свободных дырок р в дырочной зоне. Кроме того, в кристалле, содержащем локальные уровни энергии (примесные атомы и структурные дефекты), могут быть еще отрицательно заряженные акцепторы, на которых в каждой единице объема находится некоторое количество связанных электронов щ, и положительно заряженные доноры, содержащие некоторую концентрацию связанных дырок р(.
Вычисление этих концентраций подвижных и связанных носителей заряда составляет основную задачу статистики электронов и дырок в кристаллах.
Решение указанной задачи необходимо для понимания многих электрических и оптических явлений в полупроводниках. В частности, оно позволяет выяснить зависимость основных электрических свойств полупроводника (электропроводности, подвижности и др.) от количества и состава примесей, и от температуры. И, наоборот, анализируя с помощью теоретических соотношений статистики экспериментальные данные о температурной* зависимости концентраций электронов и дырок, оказывается возможным найти энергетические уровни, создаваемые примесными атомами и структурными дефектами, а также их концентрации.
Рассматриваемая задача распадается на две части: чисто квантовомеханическую — нахождение числа возможных квантовых состояний электронов и статистическую — определение фактического распределения электронов по этим квантовым состояниям при термодинамическом равновесии,
168
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОД
[гл. V
§ 2. Распределение квантовых состояний в зонах
Как показано в гл. III, стационарные состояния электрона в идеальном кристалле характеризуются квазиимпульсом р = Йк и номером зоны I. При этом объем в зоне Бриллюэна, приходящийся на каждое значение р, равен (2nhf /V, где V — объем кристалла. Поэтому число квантовых состояний, соответствующее элементу объема в зоне Бриллюэна dp и рассчитанное на единицу объема кристалла, есть
2____^_____- = 2 - dp___ (2 П
^ (2nfi)3/V V (2яй)3 • '¦ '
Здесь множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина.
В термодинамическом равновесии вероятность заполнения квантовых состояний зависит только от их энергии Е и температуры,
поэтому в (2.1) в качестве dp часто удобно выбирать элемент объема, заключенный между двумя бесконечно близкими изоэнергетически-ми поверхностями (рис. 5.1). Число квантовых состояний, соответствующих заданному интервалу энергий Е, Е + dE и по-преж-нему рассчитанное на единицу объема кристалла, можно представить в виде N (Е) dE, где N (Е) есть плотность состояний.
Точное вычисление функции N (Е) в общем случае не просто, так как поверхности постоянной энергии имеют сложную форму. Однако во многих случаях оказывается достаточным точно знать функцию N (Е) только вблизи краев зон, отчего задача существенно упрощается.
Рассмотрим сначала простейший случай изотропного параболического закона дисперсии (обобщение результатов на случай анизотропного закона дисперсии будет дано в § 7). Тогда для полной энергии электрона можно написать
Е = Ее-' р
Рис. 5.1. К определению плотно сти квантовых состояний в зоне.
2 т„
(2.2)
при этом квазиимпульс р отсчитывается от его значения, соответствующего Ес. Далее dp есть объем сферического слоя 4л//dp. Из (2.2) имеем
р = (2тп)'/г (Е - ?C)V., dp = ^ (2m„)1/2 (Е - ЕС)~Ч‘ dE .
Поэтому
Nc (Е) .
____l_
2л2Л3
(2 тпу/>(Е-Ес)Чк
(2-3)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ-ДИРАКА
169
Распределение квантовых состояний в валентной (дырочной) зоне получается с помощью аналогичных рассуждений. Рассматривая по-прежнему случай изотропного параболического закона дисперсии, мы имеем
Е______— п'2
v 2т „ Р '
(2.4)
Поэтому для плотности состояний вблизи края валентной зоны вместо (2.3) получается
N* = W (2/лр) ''2 ~ ЕУи- (2.5)
Более общие выражения для плотности состояний приводятся в § 7.
§ 3. Распределение Ферми — Дирака
Электроны, как частицы, обладающие полуцелым спином, подчиняются, как известно, статистике Ферми — Дирака. Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовЪм состоянии с энергией Е, выражается функцией Ферми — Дирака
