Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
177
есть уравнение изоэнергетической поверхности. Очевидно, все пространство квазиимпульсов можно исчерпать, интегрируя сначала по поверхности (7.4), а затем — по всем возможным значениям Е. Обозначим через (1S элемент площади на поверхности (7.4), а через ц — координату (в пространстве квазиимпульсов), постоянную на этой поверхности. Тогда для элемента объема в пространстве квазиимпульсов будем иметь
dp — dS-dt], (7.5)
Очевидно, изменению координаты г) соответствует изменение энергии
dE = (v, VpE)dr\,
где v — единичный вектор внешней нормали к поверхности (7.4). По определению градиента (v, Vp?) = | vPЕ |. Следовательно,
= • М
причем, выполнив здесь дифференцирование по компонентам вектора р, надо затем выразить их через Е и какие-нибудь удобные переменные, характеризующие положение точки на поверхности
(7.4). Таким образом,
оэ
I г, f ^ (7.71
О S v
(2лП):
Отсюда следует, что при произвольном законе дисперсии плотность состояний в зоне проводимости определяется равенством
N,
•®=(2a?Ji^r- (7-8)
Заметим, что | Vp? I есть не что иное, как абсолютная величина средней скорости электрона в данном состоянии v (р).
В частности, в применении к полупроводникам с узкой запрещенной зоной интересен случай изотропного, но непараболического закона дисперсии типа (III.9.2). В этом случае поверхность (7.4) есть сфера dS = р2 sin 0 dQ d(p, где 0 и <р — полярные углы, и, следовательно,
(7-8а)
Еще одно удобное выражение для плотности состояний можно получить, пользуясь правилами интегрирования с 6-функцией (Приложение IV). Действительно, рассмотрим интеграл
J ф • & (? — Е (р)).
178
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
Пользуясь формулами (7.5), (7.6) и правилами Приложения IV, мы можем переписать его в виде
С dS С j--- б (Е-Е (р)) = С 1--------.
J J ! vp ^ (р) I J I vp ^ (р) !? <р,=?
С точностью до множителя 2J(2nttf это есть не что иное, как правая часть
(7.8). Таким образом,
о {• (/.«О)
^ (?) = (2яй)з J ^ ' 6 (Е ~ Ev (Р)) *
Заметим, что, согласно (7.86), NC(E) = О при ?<?с и NV(E) = О
при E>EV.
Согласно (7.7) общее выражение для эффективной плотности состояний в случае невырожденного электронного газа можно записать в виде
ОО
Nc = J Nc (Е) exp (¦- А) . ^ (7.9)
о
где Nc (Е) выражается формулой (7.8). Приравнивая правые части выражений (7.9) и (4.3), находим эффективную массу плотности состояний:
= (2яЙГ)‘/. S dE ' 6ХР (“ ЙГ') J Гvp? (Р) I • (7Л0)
Вообще говоря, она зависит от температуры.
Аналогичные формулы справедливы и для Nv и Интегралы, фигурирующие в формуле (7.10), при непараболическом законе дисперсии обычно удается вычислить только численными методами.
Таким образом, мы видим, что полученные нами ранее результаты можно применять и к полупроводникам с более сложными законами дисперсии. Однако в этом случае нужно найти подходящее значение для эффективной массы, зависящее от формы изоэнергети-ческих поверхностей, от числа эквивалентных минимумов в зоне Бриллюэна и, может быть, от температуры.
Отметам в заключение еще одно существенное обстоятельство. В случае параболического изотропного закона дисперсии эффективная масса, определяющая подвижность носителей заряда (гл. XIII), и эффективная масса плотности состояний равны друг другу. В более сложных случаях эти величины, вообще говоря, не совпадают. Результирующее значение эффективной массы, определяющее подвижность, получило название эффективной массы электропроводности, которую нужно отличать от эффективной массы плотности состояний.
ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ В КВАНТУЮЩЕМ ПОЛЕ
179
Исходя из общей теории явлений переноса, основанной на использовании кинетического уравнения Больцмана, и зная форму изо-энергетических поверхностей и зависимость времени релаксации от энергии, эффективную массу электропроводности в ряде случаев можно вычислить. В таблице 5.1 приведены вычисленные значения эффективных масс плотности состояний md и электропроводности та для двух важных полупроводников — германия и кремния»
Таблица 5.1 Эффективные массы в германии и кремнии *)
Эффективная масса плотности Эффективная масса
состояний электропроводности
