Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
НЪ — e&t0.
Отсюда
= (6.3)
156 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
В частности, в кубическом кристалле, когда вектор б параллелен одной из главных его осей, мы имеем
Периодическому движению электрона по зоне Бриллюэна дол -жны соответствовать и осцилляции в энергетической зоне. В этом, легко убедиться, полагая, в соответствии с (1.7) и (1.3),
Общее решение этого дифференциального уравнения есть произвольная функция аргумента р — e&t. Поскольку при S = 0 должна получиться просто энергия электрона в идеальной решетке, мы имеем
Как мы знаем, Е (р) есть периодическая функция с периодом fib. Отсюда сразу следует, что электрон в постоянном и однородном электрическом поле, параллельном одному из векторов обратной решетки, осциллирует по энергетической зоне с периодом, определяемым формулой (6.3).
Обратим внимание на приближённый характер проделанного только что расчета. Именно, мы использовали формулу (1.7), подставив в нее выражение (1.3) для средней скорости электрона. Последнее, однако, было получено для электрона, движущегося в чисто периодическом пате. Отсюда следует, что равенство (6.5) (как и само представление об осцилляциях электрона по зоне) приближенно справедливо, лишь если напряженность «кристаллического» поля, формирующего зонный спектр, велика по сравнению с 8 *).
Далее, мы не принимали во внимание рассеяние носителей заряда неизбежно существующими несовершенствами решетки. При наличии его представление об осцилляциях электронов и дырок по зонам сохраняет смысл лишь при условии
До сих пор мы рассматривали нестационарное движение носителей „заряда. Можно поставить и задачу об их стационарных состояниях, т. е. об энергетическом спектре носителей заряда в постоянном и однородном электрическом поле. В рассматриваемом случае потенциальная энергия электрона имеет вид
(6.4)
Е{р, О = ?(Р-<?&)•
(6.5)
(6.6)
и (г)+ е&г,
(6.7)
*) По порядку величины напряженность «кристаллического» поля составляет в среднем около 107 В/см.
§6] НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ- 157
где U (г), как и раньше, соответствует электрону а решетке, а поле 6 предполагается направленным вдоль оси Z. Коль скоро выполняется неравенство (1.6), второе слагаемое в (6.7) меняется весьма медленно по сравнению с первым. ?ледовательно, локально— в каждой не слишком большой области кристалла — потенциальную энергию электрона во внешнем поле можно рассматривать как почти постоянную, и мы можем написать собственные значения энергии в виде
Ei — Ei (р) 4~ e'lz. (5.8)
Таким образом, локально здесь сохраняется представление о зонном энергетическом спектре электрона. Однако на больших интервалах z (порядка Eg/её) изменение второго слагаемого в (6.8) становится заметным.
Это означает, что зоны, оставаясь практически неизменными по форме, должны наклониться так, как показано на рис. 4.8 (для простоты изображены только границы двух зон—проводимости и валентной).
Эти рассуждения справедливы и в случае неоднородного электрического поля, если только оно достаточно плавное: напряженность
поля должна медленно меняться на протяжении характерной длины волны электрона. Действительно, в этом случае потенциальную энергию электрона в рассматриваемом поле можно по-прежнему рассматривать как величину, локально постоянную. На достаточно больших расстояниях, однако, различие между однородным и неоднородным полями становится заметным: в последнем случае границы зон оказываются непрямолинейными. Об этом говорят как об искривлении зон. Представление об искривленных зонах весьма часто используется в задачах, в которых играют роль пространственно неоднородные электрические поля (гл. VI — XI). Оно позволяет, в частности, пользоваться уравнениями движения (1.9), (1.10)—(1.10") не только в пространственно однородных, но и в плавных неоднородных полях.
Из рассмотрения рис. 4.8 вытекает, что запрещенной зоны в том смысле, в каком этот термин употреблялся раньше, здесь, строго говоря, нет. Действительно, для любого значения энергии можно найтй область пространства, в которой оно попадает, например, в зону проводимости; в другой области изменения г оно же
Рис. 4.8. Наклонные энергетические зоны в постоянном и однородном электрическом поле. Ось Z направлена вдоль вектора ?.
158 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
попадает в валентную зону. Представление о границах зон тем не менее сохраняет известный смысл.
Чтобы выяснить его, вернемся к одномерному примеру, рассмотренному в § III.5 (результаты будут иметь и общее значение). В этом случае верхняя и нижняя границы энергии электрона в данной зоне (в чисто периодическом поле) соответствуют максимальному и минимальному значениям выражения (ГП.5.12"). При вещественных значениях К = kd выражение (II 1.5.12") ограничено и зона имеет конечную ширину. Легко видеть, однако, что выражение (III.5.10) удовлетворяет системе уравнений (III.5.8) и при мнимых %. При этом, очевидно, cos X заменяется на ch |А,|, т. е. абсолютная величина функции (III.5.12") может быть сколь угодно большой. Следовательно, если бы были допустимы мнимые значения квазиволнового числа k, то ширина разрешенной зоны была бы бесконечно велика.
