Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Во-вторых, классическая формула для частоты колебаний cos совпадает с квантовой только при параболическом законе дисперсии. В более сложных условиях дело обстоит иначе: представление об уровнях и подзонах Ландау сохраняет силу, но формула (5.9) уже не имеет места; спектр уровней Ландау оказывается неэквидистантным. Так, например, обстоит дело в случае вырожденных зон; характерных для дырок в германии, кремнии и ряде других материалов.
Таким образом, магнитное поле существенно изменяет энергетический спектр свободных носителей заряда. Зона проводимости, понимаемая как совокупность значений энергии, характеризуемых тремя непрерывно изменяющимися компонентами квазиволно-вого вектора, здесь исчезает. Вместо нее появляется совокупность одномерных Подзон, каждая из которых отвечает одному из уровней Ландау, т. е. определенному значению квантового числа п, и описывается лишь одной компонентой kz. Классическая трактовка задачи о движении свободного электрона или дырки в постоянном и однородном магнитном поле может быть оправдана, только если расстояние между соседними уровнями Ландау мало по сравнению с характерной энергией носителей заряда Е:
<5J9>
Роль Е обычно играет либо величина kT (если- электронный газ подчиняется статистике Больцмана), либо уровень Ферми t, отсчитанный от дна соответствующей зоны (если имеет место фер-
154 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
миевское вырождение). Магнитные поля, для которых неравенство (5.19) не выполняется и надо учитывать квантование Ландау, называются квантующими.
Следует, однако, помнить, что формулы, полученные в настоящем параграфе, тоже имеют определенные пределы применимости. Действительно, мы рассматривали здесь поведение носителей заряда в идеальном кристалле. В применении к реальному кристаллу полученные таким путем результаты имеют смысл, если можно пренебречь процессами рассеяния. Последние приводят к нестационарное™ рассматриваемых нами состояний: на каждом из уровней электрон может находиться лишь конечное время тр — характерное время свободного пробега. Согласно принципу неопределенности между энергией и временем это означает, что каждый уровень приобретает конечную ширину: АЕ ~ hixp. Формулы (5.9),
(5.12) и т. д. имеют смысл, лишь если эта ширина мала по сравнению с расстоянием между уровнями:
Й/тр<Йсос. (5.20)
Как и следовало ожидать (в случае параболического закона дисперсии!), это есть не что иное, как классическое неравенство состр 1.
Далее, применение в данной задаче метода эффективной массы оправдано, коль скоро магнитная длина, определяемая формулой (5.11), велика по сравнению с постоянной решетки. При —
— 104 Гс мы имеем, согласно (5.11), у = 0,25-10^6 см.
Квантовомеханическое рассмотрение позволяет особенно ясно понять сущность явления диамагнитного резонанса. Очевидно, мы имеем здесь просто переходы между соседними уровнями Ландау, вызываемые фотонами частоты <мс.
§ 6. Движение и энергетический спектр носителей заряда в постоянном электрическом поле
Пусть в кристалле создано постоянное и однородное в пространстве электрическое поле напряженности ?. Этого можно добиться, например, используя достаточно тонкий образец в качестве «диэлектрической прослойки» в конденсаторе. Будем считать, что величина $ удовлетворяет условию (1.6).
В отличие от магнитного, электрическое поле уже с точки зрения классической механики может производить работу над зарядом. Соответственно следует ожидать, что при наложении постоянного и однородного электрического поля носитель заряда будет менять свою энергию, т. е. перемещаться по зоне. Для исследования этого движения воспользуемся уравнением движения (1.9). Для определенности будем говорить об электронах; все результаты для дырок получаются из приводимых ниже формул изменением знака при е.
§ 6] НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 155
Замечая, что в рассматриваемом случае сила F =¦—её, мы
имеем
Интегрируя это уравнение с начальным условием р = р0 при t = О, находим
р = р0 -e&t. (6.2)
По виду формула (6.2) описывает неограниченное возрастание квазиимпульса. Следует, однако, помнить, что по определению последний изменяется только в пределах первой зоны Бриллюэна. Поэтому слова «неограниченное возрастание» в данном случае лишены смысла, Характер движения электрона легко выяснить,
Рис. 4.7. Периодическое движение носителя заряда в зоне Бриллюэна во внешнем электрическом поле (одномерный случай). Сплошные линии со стрелками изображают траекторию носителя в пространстве квазиимпульсов.
вспоминая, что точки, разделенные вектором НЬ, описывают одно и то же состояние электрона. Следовательно, попав на границу зоны Бриллюэна, электрон, тем самым, попадает и на противоположную ее границу, откуда вновь начинается увеличение квазиимпульса. Если векторы 6 и b параллельны, то квазиимпульс будет изменяться периодически — так, как это показано (для одномерного случая) на рис. 4.7. Период осцилляций t0, т. е. время, за которое электрон проходит всю зону Бриллюэна и возвращается в исходное состояние, легко найти из условия
