Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично обстоит дело и в случае электронов, движущихся у потолка зоны (по-прежнему невырожденной и со скалярной эффективной массой). При этом эффективная масса отрицательна; соответственно аналог уравнения (4.3) имеет вид
2^гг Х~М-Х = (~Е)%, (4.3')
где, как и в § 2, \т\ = тр. Поскольку потенциальная энергия 6?/ имеет электрическое происхождение, изменение знака при ней можно интерпретировать как изменение знака заряда носителя. Иначе говоря, уравнение (4.3) описывает поведение дырки с положительной эффективной массой \ т\ вблизи дна дырочной (т. е. потолка валентной) зоны. Величина —Е есть энергия дырки, отсчитываемая, как и в § 2, от потолка валентной зоны Ev вниз. Отрицательные значения —Е (т. е. положительные значения Е) соответствуют энергии, большей Ev.
МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ
147
При наличии магнитного поля уравнения (4.3), (4.3') видоизменяются. Как известно из электродинамики, магнитное поле можно, описывать вектор-потенциалом cfl, удовлетворяющим условию
rotcfl = 53. (4.6)
Фигурирующий в (4.3) оператор импульса при этом принимает известный из квантовой механики канонический вид:
р = — tftV + --сЯ.'
г 1 с
Далее, к потенциальной энергии 6 U добавляется энергия спинового магнитного момента электрона
®)-
Здесь Р = еН/2т0с— магнетон Бора, g— гиромагнитное отношение. Для электронов и дырок в полупроводниках оно может отличаться от двух за счет спин-орбитального взаимодействия. Функции ijj и % теперь представляют собой двухрядные матрицы.
Таким образом, вместо (4.3) или (4.3') мы получаем
ihV ±--cPlJ%±8U-%±gP(o, 5i)%=±E%. (4.3")
Здесь верхние знаки относятся к электрону у дна зоны проводимости, нижние — к дырке у потолка валентной зоны,
При возведении в квадрат оператора
(-»±?<я)
в уравнении (4.3") возникают выражения типа (cflv) X и (Vcfl) X- Поскольку операторы Ли V, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, уравнение (4.3") следует дополнить правилом, указывающим порядок их следования. Тщательное исследование [1] показывает, что во всех таких случаях надлежит брать сим-метризованное выражение (cflV + Vcfl) X-
Для вычисления различных средних значений также достаточно знать только сглаженные функции % (их иногда называют «огибающими»). Именно, пусть L (г) — любая функция, плавно изменяющаяся в пространстве, и пусть tyj = хЖ> 'Фг = ХаФс. где Xi и —какие-либо решения уравнения (4.3). Тогда, как можно показать [1, 2],
Иначе говоря, % (г) играет роль «эффективной волновой функции» электрона.
Уравнения (4.3) — (4.3") можно обобщить и на случай анизотропного параболического закона дисперсии, когда изоэнергетические поверхности вблизи дна зоны представляют собой эллипсоиды. Следует лишь заменить т~х тензором
148 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
обратной эффективной массы. При этом первое слагаемое в левой части (4.3) примет вид
1 .
~2 ma$paf'&'
В частности, если оси координат совпадают с главными осями эллипсоида энергии, мы получаем вместо (4.3")
2 Ь(4-8)
а=*, у, г
Как мы видели в § III.8, в кристаллах кубической системы анизотропия эффективной массы может иметь место, только если минимум энергии расположен не в центре зоны Бриллюэна. При этом имеется несколько эквивалентных минимумов, соответствующих квазиимпульсам р; (i = 1, 2, ...). Уравнение (4.8) следует писать для каждого минимума в отдельности. Соответственно получится столько (вообще говоря, различных) решений, сколько есть эквивалентных минимумов. Каждое такое решение имеет вид
Ч7 = ХЛ|>?.ь (4.2')
где индекс i нумерует минимумы и под фс,; следует понимать функцию Блоха отвечающую квазиимпульсу р* в i-м минимуме.
Методом эффективной массы можно пользоваться также и при непараболическом законе дисперсии. -Для этой цгли надо заменить в (4.3") оператор
«кинетической энергии» ^— iftV ± на Ei (р), где р =— tftV ± ~ еД-
Уравнение (4.8) представляет собой частный случай этого общего правила.
Несколько более сложно обобщение на случай вырожденных зон. Тогда нельзя ограничиваться рассмотрением только одной из них, ибо условие (4.5) заведомо не будет выполняться. Физически это означает, что возмущение, описываемое потенциальной энергией 6U (или вектор-потенциалом), «перемешивает» различные зоны, если расстояние между ними сравнимо со средней энергией возмущения. Пусть точка вырождения соответствует краю зоны. Тогда волновую функцию системы (в условиях плавности возмущения) можно представить в виде
¦ (*¦)= i] Х/(г)Ч>/(г). (4.9)
/= 1
где индекс / нумерует зоны, смыкающиеся в точке вырождения, г — число таких зон (кратность вырождения), я|),- — функция Блоха, соответствующая рассматриваемому краю /-й зоны. Для коэффициентов разложения Xj получается система г дифференциальных уравнений второго порядка
