Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника не зависит от положения уровня Ферми. Согласно (5.1) и (5.2) оно равно
np = n! = NcNvexp(^-~). (5.4)
Здесь Hi есть концентрация электронов в условиях, когда п = р, т. е. в собственном полупроводнике. Соотношение (5.4) широко используется для определения (термической) ширины запрещенной зоны Eg по экспериментальным данным о зависимости собственной концентрации щ от температуры,
§ 6. Случай сильного вырождения
Другой крайний случай мы имеем при сильном вырождении электронного газа, когда
Ес — F ,
ехР “Tf <
В этом случае уровень Ферми лежит внутри зоны проводимости,
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ
175
а концентраций электронов в зоне 11 Nc. Взаимное расположение кривых Nc (Е), / (Е, Т) и dn/dE для вырожденного полупроводника п-типа схематически показано на рис.
5.4. В этом случае в интеграле Ферми (4.5) ехр (х— ?*) 1. Далее, в каче-
стве верхнего предела интеграла можно положить xm = (F—Ec)/kT. Это совершенно точно при Т = 0, однако справедливо с хорошим приближением и при Т Ф О вследствие быстрого убывания функции Ферми—Дирака при Е> F.
Тогда опять интеграл Ферми вычисляется непосредственно и мы имеем
n = N,
2 У л
: dx-
zVi
¦Nc
3 У л Т-Ееу/, kT )
(6.1)
?
Рис. 5.4. Схематический ход функций Nc (?), f (Е, Т) и dn/dE в сильно вырожденном полупроводнике п-типа.
При температуре абсолютного нуля все состояния в зоне, энергия которых
Е > F, свободны, а все состояния с Е <L F заняты электронами. Поэтому химический потенциал электронов ? = F — Ес есть максимальная энергия электронов при Т = 0. Эту величину, играющую важную роль в теории металлов, часто называют энергией Ферми, Подставляя в (6.1) для Nc его выражение (4.3), находим
*. (Зл2)2/з П*пи
Ь ~ 2т„
(6.2)
В случае вырожденного полупроводника р-типа, аналогично, в интеграле Ферми CDi/2 (г)*) можно положить ехр (у—г)*) 1,
а в качестве верхнего предела интеграла можно выбрать ут — (Ev — F)/kT. Тогда вместо (6.2) мы получим
Г) =
(Зл2)2 3 h-p 2 т„
7»
(6.3)
§ 7. Эффективная масса плотности состояний
Во всех предыдущих параграфах мы считали закон дисперсии изотропным и параболическим. Весьма часто, однако, приходится иметь дело и с более сложными случаями. Так, например, для зоны проводимости в германии и кремнии изоэнергетические поверхности суть эллипсоиды вращения (см. § II 1.9). Центры этих эллипсоидов не совпадают с центром зоны Бриллюэна, и поэтому в ней имеется, несколько эквивалентных минимумов энергии, Изоэнерге-
176
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
тические поверхности для дырок в этих полупроводниках имеют еще более сложную форму. Поэтому мы рассмотрим, что именно нужно понимать под величинами тп и тр, входящими в выражения эффективных плотностей состояний Nc и Nv при анизотропном или непараболическом законе дисперсии.
Рассмотрим случай эллиптических изоэнергетических поверх-Ностей
?(Р) = ^ + Ц- + ^ + |7, (7.1)
где составляющие квазиимпульса рх, ру. и рг отсчитываются от их значений в одном из эквивалентных минимумов в зоне Бриллюэна. Тогда, согласно формуле (2.1), концентрация электронов в зоне, обусловленная одним эквивалентным минимумом, равна
2 г dPx dPlJ dPz
{ }
где Е теперь выражается формулой (7.1).
Написанное выражение можно просто вычислить для невырожденных полупроводников. В этом случае
п = ехР• $ ехР (¦- ёгг) dP* dPy dP*-
При подстановке вместо Е его значения из (7.1) написанный интеграл распадается на произведения трех интегралов типа
-|-оэ
J ехР (- -Щ^г) • dP* = (2nm*kTY!t-
Поэтому
nf 2лкТ V/г , F-E,
2v(W/ ехр“Хг
С
Если в зоне Бриллюэна имеется v эквивалентных минимумов, то плотность квантовых состояний будет в v раз больше и во столько же раз увеличится концентрация электронов при заданном F.
Сравнивая полученный результат с формулой (5.1) и выражением
(4.3) для Nc, видим, что в данном случае роль скалярной эффективной массы играет величина
m-nct = v2/s (mxmym2) (7.3)
Она получила название эффективной массы плотности состояний.
Для вычисления эффективной массы md плотности состояний в общем случае удобно ввести в интеграле (7.2) новые переменные интегрирования, Именно, пусть
Е (р) — Е = const (7.4)
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ
