Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
/ = 0 т
Полученный результат, выражаемый формулами (11.4) и (11.6), для дальнейших применений удобно представить в несколько ином виде. А именно, положим
Е\Ц = Еш + гм (т=1. 2, ...), (11.7)
где EW — энергия центра с / электронами в основном состоянии,
а бjm — энергия m-го возбужденного состояния относительно основ-
ного состояния.
Далее, будем интересоваться вероятностью /(/> найти центр с / электронами (т. е. в данном зарядовом состоянии и не важно в каком возбужденном состоянии):
I'1' = ?!'?¦
т
И, наконец, как и раньше, введем кратности вырождения р/т для различных возбужденных состояний (целые числа). Тогда из (11.4), (11.6) и (11.7) получается
;р -?</>
Si exp -г=г—
/(/) = _--------EL_, (11.8)
2jF—E<J>
^exp ~w~
i=o
где через g, обозначено
fi/ = P/+ 2 P"”exp [~w)' (1I,9)
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
169
В этих выражениях (J,- есть кратность вырождения основного состояния центра с j электронами, a gj — обобщенные кратности вырождения j-го зарядового состояния. Так как по смыслу есть приращение энергии центра, то в формуле (11.8) следует полагать ?(0) = 0.
Укажем еще на связь энергий входящих в распределение Гиббса (11.8), с уровнями энергии обычных энергетических диаграмм (рис. 5.7). Так как уровни энергии Ej изображают приращение энергии центра при добавлении к нему одного электрона, то
При этом уровень отсчета энергий здесь безразличен, если только Ej и F отсчитываются от одинакового начального уровня, так как начальный уровень из выражения (jF — Е(Я) выпадает.
Определяя уровень Ферми формулой (11.3), мы пользовались свободной энергией и, соответственно, в качестве термодинамических переменных выбирали объем -и температуру. Однако мы могли бы выбрать и другие термодинамические величины: тепловую функцию W или термодинамический потенциал Ф и соответствующие им переменные. Тогда мы получили бы равнозначные определения:
Подчеркнем, что при наличии внешнего поля уровень F, определяемый формулой (11.3) (или формулами (11.11)), должен содержать и потенциальную энергию электрона в этом поле —е<р. По этой причине его и называют электрохимическим потенциалом. Если условиться отсчитывать F от края зоны проводимости Есо при ф = 0, то электрохимический потенциал электронов есть
где ? = F — Ее — химический потенциал в поле с потенциалом (р.
Рассмотрим простой примесный центр, имеющий один невырожденный уровень энергии, без возбужденных состояний. Тогда в формуле (11.8) j может принимать только два значения: 0 и 1. При этом, согласно (11.10), E{J) есть единственный локальный уровень энергии центра Еъ a go = Si = 1- Поэтому вероятность заполнения центра электроном получается равной
Е(,'> — Et -|- Е2 +... + Ej.
(11.10)
(11.11)
F = t, — e<p,
(11.12)
§ 12. Частные случаи
/ =
Таким образом, распределение Гиббса для простого, невырожденного энергетического уровня переходит в функцию Ферми—Ди-
190
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
рака (3.1). Учитывая формулу (11.3), отсюда видно, что введенный нами ранее уровень Ферми F есть не что иное, как свободная энергия, рассчитанная на один электрон.
Если имеется простой центр, способный захватывать или отдавать единственный электрон, но уровни энергии вырождены, то формула (11.8) при М = 1 переходит в формулы (9.3), полученные ранее с помощью менее строгих, интуитивных рассуждений.
Посмотрим теперь, как будет изменяться средний заряд много-электронного центра при изменении положения уровня Ферми. Для
этого удобно исследовать поведение отношения вероятностей нахождения на центре / и, соответственно, (/ — 1) электронов. Из (11.8) и (11.10) следует, что
jU-v Nj_x g/_x r kT
(12.1)
В дальнейшем мы будем предполагать, что различные уровни энергии Ej достаточно удалены друг от друга (по крайней мере нанесколько kT). Тогда изформу-лы (12.1) видно, что если уровень Ферми лежит между двумя какими-либо уровнями Ej_x и Ej и удален от этих последних хотя бы на (2 -т- 3) kT, то лежащий ниже уровень (/ — 1) будет практически целиком заполнен, а лежащий выше уровень / будет практически пустым. Поэтому среднее число захваченных электронов' на один центр будет очень близко к (/ — 1). Оно быстро изменяется, когда уровень Ферми приближается к какому-либо уровню энергии центра. Когда уровень Ферми совпадает с каким-либо уровнем энергии Ej, то отношение концентраций центров в /-м и (/ — 1)-м зарядовых состояниях равно Nj/Nj_x = g,-/gj-X.
Таким образом, если уровень Ферми лежит между двумя какими-либо соседними уровнями энергии и при своем перемещении не пересекает эти уровни, то практически центры будут находиться только в одном зарядовом состоянии, а их концентрация в других зарядовых состояниях будет исчезающе мала.
