Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для иллюстрации сказанного рассмотрим конкретный случай германия, содержащего атомы золота. Последние создают в германии четыре альтернативных уровня энергии, отмеченных на рис. 5.8, из которых нижний уровень является донорным, а остальные — акцепторными. Положим, далее,” что уровень Ферми постепенно перемещается от края дырочной зоны Ev к краю зоны проводимости Ес (например, вследствие изменения температуры или концентрации других мелких доноров и акцепторов). Тогда средний заряд атомов золота будет
' ?B+0,№Jv*0,t5 ?г~р,20 ес-0,04э8
F
*?0Щ(Р)ЦР1) ft, ?3W W)?q
р-man п-тип.
Рис. 5.8. Зависимость среднего заряда q (в элементарных зарядах) атомов золота в германии от положения уровня Ферми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ УРОВНЯ ФЕРМИ
191
изменяться так, как показано на рис. 5.8. Когда F лежит ниже донорного уровня ?j, последний пуст'и, следовательно, атомы золота заряжены положительно. Когда F лежит между уровнями Ег и Е2, то уровень Е, практически весь заполнен, а уровень Е2 — пустой. Так как уровень Е1 донорный, то подавляющее большинство атомов будет в нейтральном состоянии и средний их заряд будет близок к нулю. После перехода уровня Ферми через второй (акцепторный) уровень энергии ?2 практически все атомы будут содержать два электрона, а, следовательно, средний заряд будет близок к —е, и т. д. При последовательном повышении уровня Ферми атомы золота будут проходить через все возможные для них зарядовые состояния е, 0, —е, —2е, — Зе.
§ 13. Определение положения уровня Ферми
В предыдущих рассуждениях мы считали, что уровень Ферми задан. Посмотрим теперь, как можно найти положение уровня Ферми.
Ответ на этот вопрос зависит от того, какие другие величины заданы. Если известны концентрации носителей заряда в зонах п и р, то значение F можно определить из формул §§ 4—6. Так, например, для невырожденного полупроводника n-типа из (5.1) мы имеем
F = Ec-kT ln^.
с п
Аналогично, для невырожденного полупроводника p-типа из
(5.2) получаем
F = Ev + kT ln^L.
Р
Эти выражения дают уже известный нам результат, что чем больше концентрация основных носителей, тем ближе уровень Ферми к краю соответствующей зоны.
Однако чаще мы встречаемся с задачей, когда задан состав кристалла, т. е. концентрации и типы содержащихся в нем примесей (их энергетические уровни), а концентрации свободных и связанных носителей заряда, напротив, должны быть вычислены. В этом случае положение уровня Ферми можно найти из условия электрической нейтральности образца.
Из классической электродинамики известно, что в однородной проводящей среде в состоянии равновесия объемный заряд в любой точке равен нулю. Возникший же по тем или иным причинам заряд рассасывается под действием кулоновских сил за время порядка максвелловского времени релаксации
где е — диэлектрическая проницаемость, а — удельная электропроводность. Для типичных полупроводников хм весьма мало. Так, например, при е ~ 10 и а ~ 1 Ом-1 • см-1 = Q -1011 ед. СГСЭ
192
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[Г-Л. V
мы имеем хм ~ 10“12 с. Поэтому в стационарном состоянии или даже при периодическом изменении состояния с частотой со, удовлетворяющей условию сотЛ1<^1, внутренность полупроводника можно считать нейтральной.
Отсюда следует, что в равновесии концентрации положительно заряженных частиц должны быть всегда равны концентрациям отрицательных частиц. Положим, что в полупроводнике имеются доноры одного и того же типа с концентрацией Nd и, кроме того, акцепторы (тоже одинакового типа) с концентрацией Na. Положительными частицами являются, во-первых, подвижные дырки с концентрацией р. Во-вторых, мы имеем еще связанные положительные заряды pt в виде положительно заряженных доноров.
В случае простых доноров
pt = Nd(l—f) (простые доноры), (13.2)
где, как и раньше, f. — вероятность заполнения донора электроном, выражаемая первой формулой (9.3) (где индекс 1 опущен).
Соответственно для многозарядных доноров, имеющих в нейтральном состоянии М избыточных электронов,
М — 1 м
Pt = Nd 2 — = I iff (многозарядные доноры),
/ = О /= 1
(13.2а)
где — вероятность донору иметь /' электронов (формула
(11.8)).
Концентрация отрицательных частиц складывается йз концентрации электронов в зоне п и концентрации отрицательно заряженных акцепторов. Если nt есть концентрация связанных элементарных зарядов, то для случая простых акцепторов
nt = Naf (простые акцепторы). (13.3)
