Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично, для многозарядных акцепторов
м
— jf(i) (многозарядные акцепторы). (13.3а)
/=1
После этого условие электрической нейтральности можно записать в виде
p+pt — n — nt = 0. (13.4)
Если в полупроводнике имеются доноры, и акцепторы разных типов, то под pt и nt нужно понимать суммарные концентрации связанных элементарных зарядов.
Каждая из величин р, р'(, п и nt зависит от значения уровня Ферми, и поэтому уравнение (13.4) можно использовать для его опр^
S 14]
УРОВЕНЬ ФЕРМИ В СОБСТВЕННОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ
193
деления. Однако это уравнение является трансцендентным,и поэтому ¦для его решения приходится либо пользоваться либо численными методами, либо исследовать различные частные случаи, к которым мы и обратимся.
§ 14. Уровень Ферми в собственном полупроводнике
Для собственного полупроводника pt, nt п, р w условие нейтральности принимает вид п = р. Если ширина запрещенной зоны полупроводника достаточно велика, так что она охватывает много kT, и если эффективные массы электронов и дырок тп и тр одного порядка, то уровень Ферми будет достаточно удален от краев зон и полупроводник будет невырожденным. Поэтому, пользуясь для пар выражениями (5.1) и (5.2), имеем
Nc ехр F~kyC = ехР
Это дает
F = El-~kTln%f- = Et-%-kT\n?S-, (14.1)
1 2 N .v ‘ 4 тр ’ ' 7
где через ?«¦ = V2 (Ev + Ес) обозначена энергия середины запрещенной зоны.
Эта зависимость показана схематически на рис. 5.9. Там же отмечены края зон Ev и Ес и учтено, что ширина запрещенной зоны Eg = = Ес — Еv сама изменяется с температурой. При Т = 0 уровень Ферми располагается точно в середине запрещенной зоны. При повышении температуры он удаляется от зоны более тяжелых носителей заряда и приближается к зоне более легких.
Для полупроводников с узкой запрещенной зоной (HgSe, HgTe, серое олово и др.) даже при комнатной температуре приходится уже учитывать вырождение, и поэтому для 'п и р нужно брать общие выражения (4.4) и (4.6).
Из выражения (14.1) и рис. 5.9 видно, что если тп и тр весьма различны, то при повышении температуры уровень Ферми может приблизиться к зоне легких носителей на расстояние порядка kT и даже оказаться внутри этой зоны. Поэтому такие полупроводники при нагревании могут стать вырожденными. Этот случай мы имеем, например, в InSb, где тп тр. При этом оказывается, что уровень Ферми попадает в зону проводимости при температурах Т >; 440 К.
Рис. 5.9. Зависимость положения уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике (схематически).
194
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
§15. Полупроводник с примесью одного типа
Рассмотрим полупроводник, содержащий простые доноры с энергетическим уровнем Еа. Далее, будем считать, что температура не слишком велика, так что собственной проводимостью можно пренебречь. В этом случае электроны в зоне проводимости возникают только за счет тепловой ионизации доноров. Найдем концентрацию электронов в зоне и положение уровня Ферми в зависимости от температуры.
Условие нейтральности (13.4) для этого случая (р п, pt — 0), при учете выражений (9.3) и (4.4), дает
Уравнение (15.1) позволяет определить положение уровня Ферми F. Однако для общего случая решение этой задачи требует численных методов расчета. Поэтому мы рассмотрим только случай невырожденного полупроводника, когда
где 3 = Ес — Еа есть энергия ионизации донора,условие нейтральности (13.4) можно переписать в виде
Здесь пг — введенная нами ранее величина, определяемая формулой
(9.5). Соотношение (15.2) приводит к квадратному уравнению относительно п, положительный корень которого есть
При достаточно низких температурах, определяемых условием
В этом случае мы имеем частичную ионизацию доноров и концентрация электронов в зоне уменьшается по экспоненциальному закону
(15.1)
р__?.
Замечая, что ехр ^ можно представить в виде
F — Erf п ©7
ехР-Тг-=д7ехрТГ*
(15.2)
(15.3)
№«,)’/* > 1,
(15.3а)
§ 16]
ВЗАИМНАЯ КОМПЕНСАЦИЯ ДОНОРОВ И АКЦЕПТОРОВ
195
с понижением температуры. Изображая графически зависимость 1пгеТ"3 /4 от 1/Т, мы получим прямую линию, наклон которой равен п7/2&, т. е. отвечает половине энергии ионизации доноров е7.
При достаточно высоких температурах (4Ng/ri! <; 1) из (15.3) получается
n = Nd. (15.36)
Этот случай соответствует полной ионизации доноров. Зависимость п (Т) для одного конкретного случая показана ниже на рис. 5.11 (кривая 1).
