Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
a) Функция / имеет лишь седловые критические точки на поверхности Р.
b) Функция / не имеет критических точек на границе поверхности.
c) Функция / принимает значение +1 на всех q положительных компонентах границы и принимает значение —1 на всех р отрицательных компонентах границы.
Теорема 2.20 (С. В. Матвеев). Пространство F(P) линейно связно.
Комментарий. Другими словами, любые две функции Морса /0 и Д, имеющие лишь седловые критические точки на поверхности Р, и принимающие одинаковые значения: +1 на компонентах границы д+Р и —1 на компонентах границы д-Р, можно соединить гладким путем ft,0 ^ t ^ 1, в пространстве функций Морса того же типа, т. е. внутри пространства F(P). В частности, никаких рождений и уничтожений критических точек в процессе такой гомотопии не происходит.
Комментарий. Таким образом, любые две функции Морса из пространства F(M, р, q), у которых все точки локальных минимумов и локальных максимумов совпадают, можно не только связать регулярной гомотопией, но можно выбрать гомотопию таким образом, что точки минимумов и максимумов будут в процессе гомотопии «стоять на месте», т. е. будут занимать неизменное положение на поверхности.
Развивая идеи С. В. Матвеева, Е. А. Кудрявцева доказала следующие усиления этого результата. Иногда при деформации функции Морса полезно следить за поведением каждой ее критической точки. Другими словами, иногда полезно учитывать порядок критических точек функции. Также полезно в некоторых ситуациях следить за следующим обстоятельством. В каждой седловой критической точке функции Морса определены две входящие сепаратрисы, образующие в совокупности некоторую дугу, которую естественно назвать сепаратрисной дугой. В процессе деформации функции эта дуга тоже как-то деформируется и перестраивается, взаимодействуя с другими аналогичными дугами. Зададим на каждой такой дуге ориентацию. Полезно выяснить — можно ли продеформиро-вать одну функцию Морса в другую, чтобы совместить не только сами функции, но и ориентации всех их сепаратрисных дуг? Чтобы ответить на оба эти вопроса, введем следующие пространства функций Морса «с оснащением».
Рассмотрим пространство F(M, р, q) функций Морса / со следующими свойствами на замкнутой двумерной поверхности М.
1) Функция / имеет р точек локальных минимумов и q точек локальных максимумов.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
133
2) Все точки минимумов и максимумов функции / предполагаются фиксированными на поверхности М. Причем, все эти точки — одни и те же для разных функций / из пространства F(M, р, q).
3) На множестве всех седловых критических точек функции / задано и фиксировано отношение порядка, или нумерация.
Такую функцию Морса / можно назвать функцией с нумерованными седла-
ми.
Ясно, что пространство F(M, р, q) является накрывающим пространством для пространства F(M,p, q). На пространстве F(M,p,q) очевидно действует группа перестановок Sr. Здесь г — число седловых критических точек функции /. Факторизуя пространство F(M, р, q) по действию этой группы, мы и получаем пространство F(M, р, q). Слой получившегося накрытия изоморфен группе ST.
Любая изотопия ft , 0 sC t ^ 1, функций Морса, лежащих в пространстве F(M, р, q), однозначно определяет изотопию в накрывающем пространстве F(M, р, q) функций с нумерованными седлами, такую, что при непрерывном изменении положения критических точек на поверхности сохраняется их нумерация.
Рассмотрим еще одно пространство F+(M, р, q) функций Морса / со свойствами 1), 2) и 4) на замкнутой двумерной поверхности М, где свойство 4) определяется так. Фиксируем на поверхности М произвольную риманову метрику, и в каждой седловой критической точке функции / ? F(M, р, q) рассмотрим неориентированную гладкую дугу, образованную двумя сепаратрисами, входящими в эту критическую точку. Мы будем называть эту дугу сепаратрисной дугой.
4) В каждой седловой критической точке функции Морса / ? F(M, р, q) фиксирована ориентация сепаратрисной дуги.
Назовем такую ориентацию оснащением седловой критической точки функции /, а саму такую функцию Морса / назовем оснащенной. Полученное пространство функций Морса с оснащенными седлами (седловыми критическими точками) обозначим через F+(M, р, q). Ясно, что пространство F+(M, р, q) является накрывающим пространством для пространства F(M, р, q) со слоем, изоморфным группе {Wj2)t.
Рассмотрим еще одно пространство (М, р, q) функций Морса с оснащенными и нумерованными седлами. То есть, пространство функций / ? F(M,p,q) с нумерованными седлами, в каждой седловой точке которых фиксировано оснащение — ориентация сепаратрисной дуги. Ясно, что пространство F+(M, р, q) является накрывающим пространством над пространством F(M, р, q) со слоем, изоморфным группе Sr х (Z2)7-.
Теорема 2.21 (Б. А. Кудрявцева). Пусть М — любая связная замкнутая двумерная поверхность. Тогда:
а) пространство F(M, р, q) функций Морса с нумерованными седлами линейно связно;
134
