Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
127
функции /. Такую молекулу естественно назвать направленной. Зная направление роста функции и ориентацию на каждом атоме, мы однозначно находим направление потока на каждой из граничных окружностей атома.
Следствие. Два гамильтоновых векторных поля sgrad/ и sgrad/' на ориентированных поверхностях X2 и X'2 траекторно эквивалентны (гладко или топологически) тогда и только тогда, когда соответствующие направленные молекулы W и W' одинаковы.
Таким образом, направленная молекула является полным траекторным инвариантом гамильтоновой системы с одной степенью свободы.
2.10. Примеры сложных функций Морса и сложных молекул
Пример 1. Рассмотрим на торе функцию Морса, линии уровня которой показаны на рис. 2.70. Тор представлен в виде квадрата с отождествленными сторонами. Ясно, что это — сложная функция Морса и соответствующая ей молекула имеет вид
А-----Сг----А.
Атом С\ показан на том же рис. 2.70. Его сложность, т.е. атомный вес, равна двум, его валентность тоже равна двум.
Рис. 2.70
Эту же функцию можно представить в виде функции высоты при подходящем вложении тора Т2 в Ж3. В самом деле, рассмотрим сначала стандартное вертикальное вложение тора, показанное на рис. 2.71(a). Начнем теперь класть тор плашмя на горизонтальную плоскость, стремясь поместить обе седловые критические точки на один уровень. Это произойдет, конечно, раньше, чем тор ляжет на плоскость. Наклоняя тор, будем следить за деформацией линий уровня его функции высоты. Удобно следить за происходящим, глядя на тор сверху. Две восьмерки, отвечающие седловым критическим точкам, начинают сближаться. На рис. 2.71(b) показан момент перед их слиянием. На рис. 2.71(c) показана критическая линия уровня, на которой теперь оказываются две седловые критические точки. На рис. 2.71(d) показана трубчатая окрестность этого критического
128
Глава 2
а)
Ю
с)
d)
Рис. 2.71
уровня, т. е. атом. Это и есть один из сложных атомов, который мы будем в дальнейшем обозначать С\.
Пример 2. Рассмотрим на бутылке Клейна функцию Морса, линии уровня которой изображены на рис. 2.72. На седловом критическом уровне этой функции — ровно две критические точки. Легко видеть, что соответствующий атом совпадает с уже известным нам атомом М (см. выше). Таким образом, получаем пример сложной функции Морса на бутылке Клейна с молекулой вида:
Как и в случае тора эту сложную функцию можно представить в виде функции высоты при подходящем погружении бутылки Клейна в Ж3. Для этого нужно поместить ее в Ж3 вертикально как на рис. 2.18. Поступая по аналогии со случаем тора, будем теперь класть ее плашмя на горизонтальную плоскость, стремясь поместить оба седла на один уровень. В тот момент, когда это произойдет, мы и получим искомую функцию высоты с молекулой
Пример 3. Рассмотрим на сфере S2, вложенной в Ж3, четную функцию Морса
Рис. 2.72
Рис. 2.73
А----------М-------------А.
А----------М-------------А.
/ = х2 +2 у2 +3z2.
У нее три критических значения. Максимальному значению отвечают две точки локального максимума, минимальному — два локальных минимума. Седлово-
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
129
му значению отвечают два седла на одном уровне. Функция / четна, поэтому ее седловой атом имеет вид, показанный на рис. 2.73. Этот атом мы будем в дальнейшем называть Сч- Следует отметить, что этот атом, оказывается, играет важную роль в теории классификации интегрируемых систем. Он возникает, например, в интегрируемых задачах Якоби, Эйлера, Ковалевской, Стеклова, в теории геодезических потоков на сфере и т. д. В то же время, атом С\ встречается в теории интегрируемых систем заметно реже. Об этом подробнее мы поговорим ниже.
2.11. Аппроксимация сложных молекул простыми. Деформации функций Морса
Хорошо известно (см., например, [130]), что любая функция Морса на любом гладком многообразии может быть аппроксимирована функцией Морса, у которой на каждом критическом уровне лежит ровно одна критическая точка. Другими словами, сколь угодно малым шевелением можно развести критические точки функции на разные уровни. Ясно, что такое возмущение функции Морса превращает сложную молекулу в простую, т.е. в молекулу, атомы которой суть только А, В и В. Атом В может появиться лишь в том случае, когда поверхность X неориентируема.
В этом смысле любая сложная молекула аппроксимируется простой.
Важно отметить, что эта аппроксимация, вообще говоря, неоднозначна. Другими словами, одна и та же сложная молекула может превращаться в разные простые молекулы при разных ее возмущениях. Более того, сложный атом может распадаться несколькими разными способами в сумму простых атомов. Приведем пример. На рис. 2.74 показан сложный атом G\ с тремя вершинами. Изображены два разных, т.е. неэквивалентных его распада в сумму простых атомов.
