Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
121
нами на абсолюте). Центр четырехугольника — это седловая морсовская точка, а геодезические, соединяющие середины противоположных сторон, это критическая линия уровня функции /. При этом линии уровня выходят на границу фундаментальной области и, следовательно, четырехугольника, под прямым углом. Это гарантирует нам гладкость функции уже на всей плоскости Лобачевского после размножения области F(D) элементами группы Z *Z2. В результате получается картина линий уровня функции / на всей плоскости Лобачевского. На рис. 2.63 показана одна критическая линия уровня функции /. Комбинируя теперь рис. 2.62 и рис. 2.63, легко нарисовать — как устроены и все остальные (регулярные) линии уровня функции /.
Лемма 2.3.
а) Описанная функция f на плоскости Лобачевского является функцией Морса, инвариантной относительно группы Z * Z2.
б) Все ее критические точки являются седловыми.
Доказательство фактически дано при построении функции /. ¦
Задача. Описать функцию / в инвариантных терминах геометрии Лобачевского.
Пусть теперь G — произвольная подгруппа конечного индекса без элементов конечного порядка в группе Z * Z2, вложенная в группу изометрий плоскости Лобачевского.
Теорема 2.15. Фактор-пространство L2/G плоскости Лобачевского по группе G является некомпактной двумерной поверхностью Р2, снабженной функцией Морса /. Ее параболические концы уходят на бесконечность. На этой поверхности задана полная метрика постоянной отрицательной кривизны. Пара (Р2, /) задает некоторый f-атом. Точнее, класс эквивалентности этой пары является некоторым f-атомом. И наоборот, любой f-атом получается таким образом.
Комментарий. Поверхность Р2 имеет концы, уходящие на бесконечность. Удобно считать, что функция / равна нулю на критической линии уровня. Тогда, отрезав концы поверхности Р2, то есть рассмотрев множество {|/| ^ мы получаем уже компактную двумерную поверхность с функцией Морса, определяющую /-атом.
Доказательство фактически дано выше при построении функции /. ¦
На рис. 2.64 мы условно изобразили представление атома В в виде полной поверхности постоянной отрицательной кривизны с тремя параболическими концами, уходящими на бесконечность. Отметим, что эти поверхности нельзя гладко вложить в Ж3 так, чтобы индуцированная на них метрика оказалась бы полной метрикой постоянной отрицательной кривизны. При
122
Глава 2
этом критическая линия уровня функции Морса, то есть восьмерка, реализовалась в виде замкнутой минимальной геодезической с самопересечением. На этом же рисунке показана модель постоянной отрицательной кривизны для атома С2-Видны две минимальные замкнутые геодезические, образующие критическую линию уровня функции Морса.
Выше мы описали накрытие /-графа универсальным деревом D. Мы реализовали это дерево в плоскости Лобачевского (рис. 2.60) в виде графа, составленного из отрезков геодезических. В каждой вершине графа сходятся ровно три
2тг
дуги. Углы между ними равны и составляют —. Следовательно, дерево D оказы-
О
вается минимальной сетью или сетью Штейнера. Другими словами, она является локально минимальной сетью. Для случая сетей на плоскости, то есть для пространства нулевой кривизны, имеется богатая и хорошо разработанная теория таких сетей. См. работу А. О. Иванова и А.А.Тужилина [69]. В нашем случае, переходя к фактор-пространству L2/G, мы получаем замкнутые минимальные сети на полной поверхности постоянной отрицательной кривизны, являющейся атомом. Любопытно, что для любой такой сети на атоме все ее отрезки имеют одинаковую длину. Отсюда может быть удастся извлечь полную классификацию локально минимальных сетей, т. е. сетей Штейнера, на всех атомах, реализованных в виде полных некомпактных поверхностей постоянной отрицательной кривизны с параболическими концами.
2.9. Общее понятие молекулы
Пусть на поверхности X2, ориентируемой или неориентируемой, задана функция Морса /. Ее линии уровня расслаивают поверхность, т. е. возникает слоение с особенностями. Мы хотим построить инвариант этого слоения. Для этого рассмотрим все критические значения с* функции / и соответствующие им критические уровни / = сг-. Каждому такому уровню отвечает некоторый атом. При этом граничные окружности атомов соединены цилиндрами (трубками), являющимися однопараметрическими семействами неособых связных линий уровня функции, т. е. окружностей. Изобразим рассматриваемое нами слоение в виде графа, в качестве вершин которого возьмем атомы, обозначенные
теми или иными буквами. Это означает, что каждой вершине графа сопоставлен некоторый атом, причем указано взаимно-однозначное соответствие между граничными окружностями атома и ребрами графа, примыкающими к данной вершине-атому. Далее, концы атомов соединим ребрами, отвечающими указанным однопараметрическим семействам регулярных окружностей, т. е. трубкам. Пример показан на рис. 2.65.
