Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Если поверхность X2 является ориентируемой, то вершины графа, т. е. атомы, рассматриваемые как поверхности Р с графом К, тоже естественно считать
А
А
/
А
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
123
А А А
А\ \ А
В /
Х4 ©| фЛ
© @
А А 1
А
Ч %
ориентированными. Другими словами, в молекуле следует различать друг от друга зеркально симметричные атомы, т.е. отличающиеся друг от друга лишь ориентацией. Если же поверхность X2 неориентируема, то мы рассматриваем атомы без учета их ориентации.
Определение 2.21. Описанный граф назовем молекулой W, отвечающей паре (X2, /).
Для удобства, на месте каждой вершины молекулы мы будем ставить стандартное буквенное обозначение данного атома.
Какие молекулы мы будем считать одинаковыми, совпадающими?
Определение 2.22. Две молекулы W и W' будем считать одинаковыми, если существует гомеоморфизм одного графа на другой, который переводит ребра в ребра, атомы в атомы, причем этот гомеоморфизм продолжается на сами атомы. Это означает, что гомеоморфизму ребер отвечает гомеоморфизм отвечающих им граничных окружностей атомов и этот гомеоморфизм должен продолжаться с границы атома внутрь, т.е. на весь атом.
Комментарий. Для каждого атома полезно рассмотреть его стандартную модель в виде поверхности Р с графом К. Задавая молекулу,
мы задаем тем самым некоторый гомеомор- рис 2.66
физм между этой стандартной моделью и атомом, посаженным в вершину молекулы. То же самое происходит, когда тот же атом появляется в составе какой-то другой молекулы W'. Если же теперь задан гомеоморфизм между двумя молекулами W и W', то он индуцирует перестановку граничных окружностей стандартной модели атома. Для того, чтобы считать молекулы одинаковыми, надо требовать, чтобы эта перестановка порождалась некоторым гомеоморфизмом стандартного атома на себя. Поясним, что не любая перестановка граничных окружностей поверхности продолжается до гомеоморфизма всей поверхности на себя. Это и означает, что концы атомов, вообще говоря, неравноправны. Например, у атома D1 концы 1 и 3 равноправны, а концы 1 и 2 (а также 2 и 3) — нет (рис. 2.66). На рис. 2.66 приведены три молекулы W\, W2, W3, из которых молекулы W\ и W2 одинаковы, а молекулы W2 и W3 различны. Дело в том, что гомеоморфизм, отождествляющий графы молекул W\ и W2, индуцирует следующую перестановку граничных окружностей стандартной модели атома D\ (расположенной в стороне): (1, 2, 3, 4) —> (3, 2, 1, 4). Эта перестановка очевидно индуцируется гомеоморфизмом атома на себя, являющимся отражением его относительно центра симметрии (рис. 2.66).
Гомеоморфизм, отождествляющий графы молекул W2 и W3, индуцирует следующую перестановку граничных окружностей стандартной модели атома D1 (расположенной в стороне): (1, 2, 3, 4) —> (1, 3, 2, 4). Эта перестановка уже не может быть получена путем гомеоморфизмом атома на себя, что очевидно.
124
Глава 2
Я я я я
\/ \/
Я Я Я Я
Ч\7/
v
VV
я я
я я я л
\/ \/
Я я я я
>4\31У
V
S/V
я я Рис. 2.67
В Я
я я \/
\/ \/
я в
1 \ I
я в /
в в я
I
я я
я л \/ в
I
в
я я я л я я д
\/ \|/ \/
я*
LZ "f "2
Л л Л
я я /f У?
"V
о
я
я
6
л
я я
я я \/
\/
в
/
о
я
¦ \ 1 ¦В, \/~В
т
в / \
(У
/7
/7 /7
\/
I
?
/7
/\
с, я
I
я
я я я я я я
() V V V/
л я
т
Рис. 2.69
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
125
Эту проблему нельзя обойти, обозначив одинаковым номером те граничные окружности атома, которые могут быть переведены друг в друга путем подбора подходящего гомеоморфизма атома на себя. В этом можно убедиться на примере атома V (рис. 2.67). Две нарисованные молекулы W\ и W2 — различны, несмотря на то, что все четыре конца 1, 2, 3, 4 атома V равноправны в том смысле, что каждый из них может быть переведен в любой другой подходящим гомеоморфизмом атома V. Дело в том, что для совмещения молекул потребовалось бы переставить концы 1 и 2 атома V. Но в таком случае мы должны были бы автоматически переставить между собой его концы 3 и 4. Но к концам 3 и 4 примыкают различные части молекул. Их нельзя совместить гомеоморфизмом.
