Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
24 ? >Я3< ЕР2
25 И ро НаС ЕР2
+/ +/
й
146
Глава 2
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
147
Глава 3
Грубая лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями
свободы
3.1. Классификация невырожденных критических подмногообразий на изоэнергетических 3-поверхностях
Рассмотрим симплектическое 4-многообразие М4 с интегрируемой гамильтоновой системой v = sgradi?. Пусть Q\ = {Н = h} — неособая компактная связная изоэнергетическая поверхность в М4, / — дополнительный интеграл системы v, независимый с Н. Его ограничение на Q\ мы обозначим той же буквой / и будем предполагать, что / — функция Ботта на Q\. Наша цель — изучить топологию слоения Лиувилля на Qопределяемого данной интегрируемой системой. Напомним, что его неособые слои — это торы Лиувилля, а особые слои соответствуют критическим уровням интеграла / на Q\.
Отметим прежде всего, что слоение Лиувилля как правило не зависит от конкретного выбора интеграла /.
Предложение 3.1. Пусть система v нерезонансна на Q\. Тогда соответствующие слоения Лиувилля на Q\ полностью определяется лишь гамильтонианом Н и не зависит от конкретного выбора дополнительного боттовского интеграла /. Доказательство.
Из нерезонансности системы следует, что почти все торы Лиувилля являются замыканиями интегральных траекторий системы v = sgradiif. Таким образом, почти все неособые поверхности уровня интеграла / однозначно задаются самим гамильтонианом Н. Ясно, что если / и /' — два боттовских интеграла системы v, то из совпадения почти всех их неособых поверхностей уровня автоматически следует, что будут совпадать и все остальные поверхности уровня — как регулярные, так и особые. Но это и означает, что / и /' задают одинаковые слоения Лиувилля. Предложение доказано. ¦
Тем не менее, удобно пользоваться каким-либо конкретным интегралом / для выделения в Q\ структуры слоения Лиувилля. Ясно, что основная информация об этом слоении содержится в особенностях функции /: —> М. Напомним
некоторые их свойства, уже изученные в главе 1.
Предложение 3.2. Пусть gradi? ф 0 на Q\. Тогда интеграл / не имеет на Q\ изолированных критических точек.
Доказательство.
Если х — критическая точка / на Qто v(x) ф 0, так как gradi? ф О всюду на Q^. Но тогда через точку х проходит интегральная траектория по-
Глава 3
149
ля v, целиком состоящая из критических точек функции /. Это сразу следует из инвариантности функции / относительно гамильтонова потока v. Предложение доказано. ¦
Следовательно, критические точки боттовского интеграла / всегда образуют либо одномерные, либо двумерные невырожденные подмногообразия в Q\.
Предложение 3.3. Связными критическими подмногообразиями функции / на Q\ могут быть только следующие многообразия:
1) окружности,
2) торы,
3) бутылки Клейна.
Доказательство.
Из компактности изоэнергетической поверхности Q\ сразу следует, что невырожденное критическое подмногообразие интеграла / обязательно замкнуто. С другой стороны, на этом подмногообразии имеется векторное поле v = sgrad Н, нигде не обращающееся в нуль. Среди одномерных и двумерных замкнутых многообразий этим свойством обладают лишь окружность, тор и бутылка Клейна. Предложение доказано. ¦
Предложение 3.4.
а) Невырожденные критические окружности боттов-
ского интеграла / могут быть как подмногообрази- \
ями локального минимума или максимума, так и 1
седловыми. J ..../ /
б) Невырожденные критические торы и бутылки / ..-К У
Клейна являются подмногообразиями локального I
минимума или максимума. .* ’’Ч
Доказательство. \ /
Если S — критическое подмногообразие, a D — нор- ^-------------У
мальный диск к S, то ограничение функции / на D является функцией Морса. Если S — окружность, то диск D двумерен, и функция Морса может иметь в центре диска либо локальный минимум, либо локальный максимум, либо седло (рис. 3.1). Если же подмногообразие S двумерно, то нормальный диск D одномерен и, следовательно, / обязательно имеет в его центре либо локальный минимум, либо локальный максимум. Предложение доказано. ¦
В дальнейшем мы будем в основном рассматривать лишь такие интегрируемые системы, у которых на изоэнергетических 3-поверхностях нет критических торов и бутылок Клейна. Кроме указанных выше соображений в пользу такого подхода отметим еще две причины.
Рис. 3.2
150
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
С топологической точки зрения расслоение на торы Лиувилля в окрестности критического тора тривиально. Другими словами, никаких особенностей здесь не возникает. Более того, путем подходящей замены интеграла / в окрестности критического тора (а именно, путем извлечения из него квадратного корня) можно добиться того, чтобы тор перестал быть критическим.
