Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Что же касается критических бутылок Клейна, то от них всегда можно избавиться, переходя к двулистному накрытию над 3-поверхностью Q\, в результате которого бутылки Клейна развернутся в торы.
Предложение 3.5. Пусть / — боттовский интеграл на Q = Q\, имеющий критические бутылки Клейна Кг, ... , Кг, и U(Q) — достаточно малая открытая окрестность подмногообразия Q в М4. Тогда существует двулистное накрытие
7r:(U(Q),H,f)^(U(Q),H, я,
где U(Q) — симплектическое четырехмерное многообразие с интегрируемой гамильтоновой системой v = sgr&dH, обладающей дополнительным интегралом /. При этом Н = тг*Н, / =^7г* f, v = n*v — естественные поднятия Н, f и v с многообразия U(Q) на U(Q), и все критические бутылки Клейна К±, ... , Кг разворачиваются в двумерные критические торы Xl, ... , Тг функции f на Q.
Доказательство.
Пусть Кг, ... , Кг — критические бутылки Клейна. Рассмотрим их достаточно малые инвариантные по отношению к потоку v трубчатые окрестности V(Ki) С Q. Покажем, что граница каждой такой окрестности является тором. В самом деле, без ограничения общности мы можем считать, что на критической бутылке Клейна Ki функция / имеет локальный максимум. Тогда в качестве трубчатой окрестности мы можем взять область V(Ki) = /_1(с, с - е), где с = f(Ki). Ее граница dV(Ki) = f~1(c — e) является регулярной поверхностью уровня функции / и поэтому состоит из одного или нескольких торов Лиувилля. С другой стороны, граница каждого нормального к бутылке Клейна К* отрезка состоит из двух точек (рис. 3.2). Проектируя их вниз на Ki, получаем двулистное накрытие бутылки Клейна границей ее нормальной трубчатой окрестности. Отсюда сразу следует, что dV(Ki) состоит только из одного тора. В противном случае мы пришли бы к противоречию с существованием двулистного накрытия dV(Ki) -+ Ki.
Разрежем теперь многообразие Q по всем бутылкам Клейна К\, ... , Кг. Получим 3-многообразие W, край которого состоит из несвязного объединения торов Xi, ... , Тг. Возьмем второй экземпляр W' этого 3-многообразия и построим новое 3-многообразие Q = W + W', называемое дублем (рис. 3.3) и получающееся естественным отождествлением граничных торов: каждый граничный тор на границе W склеивается со своим дубликатом на границе W'.
I
Рис. 3.3
Глава 3
151
Определим проекцию многообразия W + W' на многообразие Q. Для этого воспользуемся тем, что W и W' диффеоморфны многообразию Q\(Ki + .. .+КГ). Поэтому проекция W и W' на Q \ (Кi + ... + Кг) определена естественным образом. Теперь отобразим Q \ (+ ... + Кг) на Q, проектируя каждый тор Tj на бутылку Клейна при помощи соответствующего двулистного накрытия, т. е. сделав операцию, обратную проделанной ранее операции разрезания вдоль бутылки Клейна.
Замечание. Описанную процедуру разрезания, а затем обратной склейки, полезно проиллюстрировать на двумерном примере листа Мебиуса (рис. 3.4). Разрезав лист Мебиуса вдоль его оси, получаем кольцо. Производя обратную операцию, мы отображаем кольцо на лист Мебиуса. При этом одна из граничных окружностей кольца двулистно накрывает ось листа Мебиуса (рис. 3.4).
Итак, мы определили проекцию 7г: Q —> Q, при которой прообразом каждой бутылки Клейна К{ является некоторый тор Tj. Проекцию можно считать гладким отображением гладких 3-многообразий. Поскольку окрестность U(Q) в М4 является прямым произведением Q х I, то проекция 7г естественно продолжается на
трубчатую окрестность U(Q) = Q х I, где I — отрезок. Поднимем теперь с 4-многообразия U(Q) на U(Q) все нужные нам объекты: форму ш, вектор-ное^поле v, гамильтониан Н, интеграл /. В результате мы построили накрытие 7г: U(Q) —> U(Q), которое разворачивает критические бутылки Клейна в критические торы Т{, что и требовалось. Предложение доказано. ¦
Опишем теперь топологическое строение окрестности критической окружности интеграла / на Q3.
Пусть S — критическая окружность боттовского интеграла и D — трансверсальный двумерный диск.
Тогда согласно лемме Морса функция / на диске D приводится заменой координат к виду (без ограничения общности мы полагаем f(S) = 0)
f = ±x2±y2.
х2 —у2 отвечает сед-
Случай / = х2 + у2 отвечает минимуму функции /, Рис- 3.5
случай / = —х2 — у2 — максимуму (рис. 3.1-а), а случай / лу (рис. 3.1-Ь). На диске D возникает слоение на линии уровня / с одной особой точкой в центре диска. Под действием потока v диск движется вдоль окружности, оставаясь трансверсальным к ней. При этом слоение на линии уровня функции / сохраняется, поскольку / — интеграл. Сделав полный оборот вдоль окружности, диск D «возвращается на прежнее место», порождая некоторый локальный диффеоморфизм a: D —^ D, сохраняющий слоение. Это отображение называют обычно отображением последования, или отображением Пуанкаре. Таким образом, возникает слоение трубчатой окрестности критической окружности на двумерные слои с особенностью на этой окружности.
152
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
