Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 55

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 193 >> Следующая


С формальной точки зрения мы должны были бы занумеровать концы атомов в нашем списке (см. выше) различными цифрами, а при построении молекул следовало бы у ребер, примыкающих к атому, ставить тот же номер, что и на соответствующем конце атома. Мы не будем этого делать, поскольку^ приложениях будут встречаться, в основном, не очень сложные атомы: А, В, В, С\, С2, D\. Для них соответствие между концами атома, исходящими из его буквенного обозначения с реальными его граничными окружностями усматривается без труда. Например, атом D1? показанный на рис. 2.68, мы будем изображать в виде буквы I?! с одним нижним концом и тремя верхними концами. Здесь ясно, что нижний конец отвечает внешней окружности атома, а три верхних — остальным трем граничным окружностям атома. Средний верхний конец атома отвечает центральной граничной окружности поверхности.

Теорема 2.16. Пусть (X2, /) и (X'2, /') — две ориентированные поверхности с функциями Морса, и W, W' — соответствующие им молекулы. Тогда пары (X2, /) и (X/2, /') послойно эквивалентны с сохранением ориентации, в том и только в том случае, когда молекулы W и W' одинаковы.

Доказательство.

В одну сторону утверждение очевидно: если пары (X2, /) и (X'2, /') послойно эквивалентны, то их молекулы, конечно, совпадают. Обратно, пусть молекулы W и W' одинаковы. Возьмем гомеоморфизм, отображающий W на W'. Он устанавливает взаимно-однозначное соответствие между однопараметрическими семействами регулярных линий уровня функций / и /', а также между их критическими слоями. Окрестность каждого критического уровня — это атом. Из совпадения молекул следует, что соответствующие атомы одинаковы. В силу определения атома это означает, что функции / и /' послойно эквивалентны в окрестности своих критических уровней. Эту эквивалентность нужно продолжить на оставшиеся трубки, расслоенные на регулярные окружности (линии уровня функций / и /'). Это тоже можно сделать, по определению молекулы, поскольку на концах трубок гомеоморфизм уже задан. Теорема доказана. ¦

Что произойдет с молекулой, если мы заменим ориентацию поверхности X2 на противоположную, не меняя при этом функции /?

Предложение 2.8. При замене ориентации X2 все атомы соответствующей молекулы заменятся на зеркально симметричные.
126

Глава 2

Доказательство очевидно. ¦

Не следует думать, что молекула не меняется при замене ориентации X, если все ее атомы зеркальные. Дело в том, что концы атомов неравноправны, помечены разными цифрами. Поэтому при изменении ориентации поверхности на каждом атоме происходит, вообще говоря, некоторая перенумерация его концов, индуцируемая зеркальной симметрией атома на себя.

Назовем атом сильно зеркальным, если его зеркальная симметрия оставляет на месте его концы. То есть, каждая граничная окружность переходит в себя при зеркальной симметрии. Таковыми являются, например, все атомы сложности 1 и 2, что видно из таблицы 2.1.

Следствие. Пусть паре (X2, /) отвечает молекула W, вершинами которой являются лишь сильно зеркальные атомы, например, любые атомы сложности не превосходящей 2. Тогда всегда существует диффеоморфизм поверхности X2 на себя, меняющий ориентацию и сохраняющий функцию /.

Доказательство очевидно, так как при указанных условиях молекула W не меняется при изменении ориентации поверхности X2. ¦

Отсюда видно, что молекула W — это достаточно хороший инвариант, позволяющий давать ответы на многие вопросы.

Приведем теперь список всех простейших молекул, т.е. составленных из атомов малой сложности.

Теорема 2.17. Все классы послойной эквивалентности функций Морса с числом критических точек не больше 6, на сфере и на торе описываются молекулами, изображенными на рис. 2.69. Все перечисленные молекулы —различны. На сфере таких классов — 8, на торе — 14.

Доказательство получается перебором всевозможных вариантов, с учетом эйлеровой характеристики поверхности. ¦

Замечание. В теореме 2.17 ориентация несущественна, в том смысле что классов послойной эквивалентности с учетом ориентации и без учета ориентации — одинаковое количество. Другими словами, каждая из перечисленных молекул не меняется при замене ориентации поверхности. Это следует из свойств атомов, образующих эти молекулы.

Рассмотрим ориентированную поверхность X2 как симплектическое 2-мно-гообразие. Тогда любую функцию Морса на нем можно считать гамильтонианом интегрируемой системы с одной степенью свободы. Напомним, что любая гамильтонова система с одной степенью свободы интегрируема. Интегральные траектории задается линиями уровня функции. Поэтому послойная эквивалентность пар (X2, /) и (X'2, /') фактически может рассматриваться как траекторная эквивалентность соответствующих гамильтоновых систем sgrad / и sgrad/'. Небольшое отличие состоит в том, что на каждой интегральной траектории гамильтонова поля задана естественная ориентация — направление потока. При траекторной эквивалентности потоков мы договорились (см. выше) учитывать это направление. Чтобы добиться этого, нужно добавить к молекуле эту дополнительную информацию, указав, например, на каждом ее ребре направление роста
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed