Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 52

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 193 >> Следующая


На рис. 2.55(а, b,c,d) показаны скелеты К всех перечисленных атомов в их развертке на плоскость.

На рис. 2.56(а, b,c,d) изображены сами максимально симметричные плоские (то есть сферические) атомы.

Теорема 2.14 полностью доказана. ¦

2.8.6. Представление атомов в виде факторов плоскости Лобачевского по подгруппам ее группы изометрий. Атомы как поверхности постоянной отрицательной кривизны

Оказывается, существует естественное вложение группы Z*Z2 в группу изометрий Iso(.L2) двумерной плоскости Лобачевского L2. Тем самым, группа Z *Z2 представляется в виде изометрий плоскости Лобачевского. Реализуем плоскость Лобачевского в виде верхней полуплоскости комплексной ^-плоскости. Рассмотрим на ней две изометрии /3, а, задающиеся следующими дробно-линейными преобразованиями:

Хорошо известно, что группа собственных изометрий плоскости Лобачевского Iso(-L2)o изоморфна фактор-группе SL(2, M)/Z2, где Z2 = Тогда преоб-

разования /3 и а запишутся в виде матриц

сх: z —У — ^, /3: z —У z + 2.

F

Геометрически преобразование /3 задает сдвиг вдоль вещественной оси на две единицы. Преобразование /3 имеет бесконечный порядок, поскольку его к-я степень имеет вид:

-10 1

Рис. 2.57

Преобразование а — это гиперболический поворот на угол тг вокруг точки i на мнимой оси. Это очевидно инволюция. Квадрат матрицы а' равен — Е, однако это есть тождественное преобразование в группе Iso(-L2)o =

SL(2, M)/Z2.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса

119

Лемма 2.2. Подгруппа в группе Iso(L2)о, порожденная преобразованиями /3 и а, изоморфна группе Z * Z2.

Доказательство следует из явного вида матриц. ¦

Фундаментальная область F(D) подгруппы Z * Z2 изображена на рис. 2.57. Она очевидно является треугольником, все три вершины которого лежат на бесконечности, т.е. на абсолюте. Под действием преобразований /3 и а эта область размножается как показано на рис. 2.58. Преобразование /3 сдвигает ее на две единицы вправо, а преобразование а поворачивает область на угол тг вокруг точки г. Отсюда видно, что применяя композиции этих преобразований, мы постепенно замостим всю верхнюю полуплоскость образами области F(D), как показано на рис. 2.58.

Теперь мы можем вложить дерево D в плоскость Лобачевского таким образом, что оно будет переходить в себя при описанном действии группы Z * Z2. Проще всего построить это вложение так. В фундаментальной области (треугольнике) F(D) выберем треножник, показанный на рис. 2.59, состоящий из отрезков геодезических и имеющий свою вершину в центре треугольника F(D). Для этого достаточно провести из каждой вершины F(D) перпендикуляр к противоположной стороне. Точка пересечения трех перпендикуляров и дает центр треножника. Под действием композиций преобразований /3 и а треножник порождает дерево D (рис. 2.59). Для наглядности, та же картина вложения дерева D в плоскость Лобачевского показана нами и на модели Пуанкаре, то есть на единичном круге (рис. 2.60). Профакторизуем теперь плоскость Лобачевского по всей группе Z * Z2. В результате с топологической точки зрения получится кольцо с одной отмеченной точкой внутри (рис. 2.61). Эта отмеченная точка отвечает неподвижной точке преобразования а. В этой точке нарушается гладкость и получается коническая особенность. Кольцо с отмеченной точкой внутри вскоре появится у нас как атом А*.

Теперь погрузим теорию /-атомов в гиперболическую геометрию. Оказывается, что в некотором смысле каждый /-атом может быть представлен в виде фактора плоскости Лобачевского по подходящей подгруппе группы изометрий. Более точно, следует поступить так. Возьмем в группе Z *Z2 любую подгруппу G конечного индекса без элементов конечного порядка.

Фундаментальная область F{G) группы G получается объединением нескольких фундаментальных областей F(D). При этом число таких областей F(D) в точности равно индексу подгруппы G в группе Z*Z2. В частности, площадь
120

Глава 2

области F(G) равна пк, где к — индекс подгруппы G в группе Z * Z2. Фактор-пространство плоскости Лобачевского по подгруппе G группы изометрий будет полной, в смысле метрики постоянной отрицательной кривизны, некомпактной двумерной поверхностью с параболическими концами. Эти концы соответствуют парам геодезических, касающихся друг друга в бесконечно удаленной точке на абсолюте.

Рис. 2.60

Рис. 2.61

max

Рис. 2.63

Если мы теперь зададим на плоскости Лобачевского функцию Морса /, инвариантную относительно действия группы Z*Z2 (а, следовательно, и относительно ее подгрупп G), то фактор-пространства вида L2/G можно будет оснастить функцией Морса /. Она получится из универсальной функции / путем ее опускания вниз на фактор-пространство L2/G. В результате получится /-атом.

Опишем универсальную функцию / на L2. На рис. 2.62 изображены линии уровня искомой функции / на фундаментальной области F(D) и на ее образе при действии преобразования а (в результате получается четырехугольник с верши-
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed