Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Глава 2
б) пространство (.М, р, q) функций Морса с оснащенными седлами также линейно связно;
в) пространство F+(M, р, q) функций Морса с оснащенными и нумерованными седлами распадается ровно на две компоненты линейной связности.
Замечание. Ясно, что все критические точки любых двух функций Морса f,g? ? F(M, р, q) можно совместить друг с другом на поверхности (то есть как минимумы и максимумы, так и седла). Согласно теореме С. В. Матвеева, все точки минимумов и максимумов можно считать неподвижными в процессе изотопии, деформирующей функции друг в друга. Интересно выяснить, можно ли добиться этого и для седел? То есть, можно ли считать, что в процессе деформации функции / в функцию g все их седловые критические точки остаются на месте?
2.12. Классификация потоков Морса—Смейла на двумерных поверхностях при помощи атомов и молекул
В этом параграфе мы покажем, как идея атомов и молекул может быть применена к траекторной классификации потоков Морса-Смейла на замкнутых двумерных поверхностях. Излагаемая ниже конструкция появилась как результат обсуждения авторами и В. В. Шарко различных применений атомов и молекул. Затем А. А. Ошемков развил этот подход. Получившиеся результаты см. в приложении 1, в конце нашей книги.
Необходимые определения из общей теории динамических систем см., например, в обзоре Д. В. Аносова, С. X. Арансона, И. У. Бронштейна, В. 3. Гринеса [4].
Напомним, что векторные поля v\ и v2, заданные на замкнутых поверхностях Mi и М2, называются топологически траекторно эквивалентными, если существует гомеоморфизм h: Mi —У М2, переводящий траектории векторного поля vi в траектории векторного поля v2 с сохранением ориентации на траекториях.
Определение 2.23. Векторное поле v на многообразии М называется грубым, если при малом возмущении поля v топологическое поведение его траекторий не меняется, т. е. после возмущения поле топологически траекторно эквивалентно исходному.
Согласно теореме М.Пейксото [354], [355], [356], грубыми векторными полями на двумерной поверхности являются в точности поля Морса-Смейла. В случае двумерной поверхности их можно определить следующим образом.
Определение 2.24. Векторное поле v на замкнутой двумерной поверхности М2 называется полем Морса-Смейла, если
1) v имеет конечное число особых точек и периодических траекторий, причем все они гиперболические;
2) не существует траекторий, идущих из седла в седло;
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
135
3) для каждой траектории поля v ее a-предельное и cj-предельное множества являются либо особой точкой, либо периодической траекторией, т. е. предельным циклом.
Здесь для простоты мы опишем классификацию потоков Морса-Смейла без периодических траекторий. Мы будем называть их потоками Морса. Классификацию же общих потоков Морса-Смейла на М2 см. в приложении, в конце настоящей книги.
Потоки Морса имеют еще одно естественное описание. Это в точности градиенто-подобные потоки без сепаратрис, идущих из седла в седло. Здесь поток называется градиенто-подобным, если он топологически эквивалентен потоку grad / для некоторой функции Морса / и некоторой римановой метрики gij на многообразии М.
Оказывается, каждому потоку Морса на двумерной поверхности М2 можно естественным образом сопоставить некоторый /-граф, или /-атом, таким образом, что соответствие между /-атомами и классами топологический траекторией эквивалентности потоков Морса будет взаимно однозначным. Опишем эту конструкцию.
Все особые точки потока Морса можно разделить на три типа: стоки, источники и седла. Кроме того поток имеет сепаратрисы, соединяющие стоки и источники с седлами. Каждому седлу при этом соответствуют две входящие и две выходящие сепаратрисы.
Рассмотрим на М2 вокруг каждого источника маленькую окружность, трансверсальную потоку (рис. 2.78(a)).
Ориентируем ее произвольным образом и отметим на ней точки пересечения с сепаратрисами. Отмеченные точки можно естественным образом разделить на пары. Действительно, рассмотрим для каждого седла пару входящих в него сепаратрис. Тогда кривая, составленная из этих сепаратрис соединяет между сооои некоторую пару отмеченных точек (рис. 2.78(a)).
Рассмотрим теперь граф, вершинами которого являются отмеченные точки, а ребрами — дуги окружностей, идущих вокруг каждого источника и кривые, составленные из двух сепаратрис и соединяющие парные вершины. В результате каждой вершине инцидентны три ребра, причем два из них имеют ориентацию (это дуги окружности), а третье (т. е. кривая, составленная из сепаратрис) — неориентировано (рис. 2.78(b)). Для получения /-графа нам остается сопоставить каждому неориентированному ребру метку +1 или —1. Это делается точно так же как и выше. Правило показано на рис. 2.79. Поскольку конструируемый граф
136
Глава 2
Рис. 2.79
вложен в поверхность М2, то можно рассмотреть узкий прямоугольник-ленточку вокруг неориентированного отрезка. На торцах прямоугольника появятся две стрелки — ориентации с окружностей, окружающих источники. Возможны два случая: эти две стрелки на торцах прямоугольника-ленточки определяют одинаковую ориентацию на границе прямоугольника, либо имеют противоположные ориентации. В зависимости от этого ставим на неориентированном ребре числовую метку: либо +1, либо —1. См. рис. 2.79. После этого мы получаем /-граф, определенный нами выше при описании атомов. Другими словами, каждому потоку Морса на поверхности естественно сопоставляется некоторый атом, реализованный в виде /-графа. Это важное обстоятельство и лежит в основе классификации потоков Морса при помощи атомов.