Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Его структура полностью определяется свойствами диффеоморфизма сг. Легко видеть, что возможны лишь следующие случаи (с точностью до гладкой изотопии, сохраняющей слоение в трубчатой окрестности S).
а) Если критическая окружность S является подмногообразием локального минимума или максимума, то слоение тривиально, т.е. является прямым произведением диска, расслоенного на концентрические окружности, на критическую окружность S (рис. 3.5).
б) Если критическая окружность S — седловая, то возможны два случая:
6-1) Диффеоморфизм a: D ^ D изотопен тождественному (в классе отображений, сохраняющих функцию / = х2 — у2). В этом случае возникающее слоение окрестности S тривиально (рис. 3.6). Его можно представлять себе как прямое произведение креста, показанного на рис. 3.6, на окружность S. В этом случае мы скажем, что окружность S имеет ориентируемую сепа-ратрисную диаграмму.
6-2) Диффеоморфизм сг: D —>¦ D изотопен центральной симметрии, т.е. повороту на 7г (рис. 3.6) (в классе отображений, сохраняющих функцию / = х2 — у2). Здесь возникающее слоение окрестности окружности S уже нетривиально. Оно является косым произведением двумерного креста на окружность S. В этом случае скажем, что критическая окружность S имеет неориентируемую сепаратрисную диаграмму.
Комментарий. Говоря о сепаратрисной диаграмме, мы подразумеваем здесь пересечение множества / = 0 с окрестностью седловой критической окружности S. В случае, когда S является гиперболической траекторией гамильтонова векторного поля v, эта сепаратрисная диаграмма совпадает с объединением устойчивого и неустойчивого подмногообразий траектории S. Отметим, что ориентируемая сепаратрисная диаграмма представляет собой объединение двух колец, трансверсально пересекающихся вдоль общей оси, а неориентируемая — аналогичное объединение двух листов Мебиуса. См. рис. 3.7.
На самом деле можно доказать следующий аналог леммы Морса.
Лемма 3.1. В достаточно малой трубчатой окрестности критической окружности S всегда можно выбрать такие координаты х, у, <р (где х, у — координаты на диске D, а (р — координата вдоль окружности S), в которых интеграл f запишется сразу во всей окрестности в следующем виде:
a) f = х2 + у2 (или f = —х2 — у2), если на S функция имеет локальный минимум (соотв. локальный максимум);
е-i) / = х2 — у2 в случае седловой окружности с ориентируемой сепаратрисной диаграммой;
а)
Ъ)
Рис. 3.6
Глава 3
153
6-2) f = ж2 cos(р — 2xysm(p — у2 cos(p в случае седловой окружности с не-ориентируемой сепаратрисной диаграммой.
Доказательство леммы легко следует из обобщенной леммы Морса-Ботта (см. предложение 1.16 главы 1), и мы его опускаем. ¦
Следствием леммы 3.1 является следующее утверждение, классифицирующее ли-увиллевы слоения вблизи невырожденных критических окружностей (или, что то же самое, описывающее локальную структуру особенностей таких слоений в случае невырожденных критических окружностей).
Предложение 3.6. С точностью до послойного диффеоморфизма существуют лишь указанные выше три типа лиувиллевых слоений в окрестности критической окружности. Все они попарно различны.
Рис. 3.7
3.2. Топологическое строение окрестности особого слоя слоения Лиувилля
Чтобы сформулировать главный результат этого раздела, введем важное само по себе понятие многообразия Зейферта.
Многообразие Зейферта — это трехмерное многообразие, представленное в виде объединения попарно непересекающихся простых замкнутых кривых, которые называются слоями.
При этом слои должны «хорошо примыкать друг к другу». Чтобы это пояснить, введем понятие расслоенного полнотория.
Полноторие D2 х S1, разбитое на слои вида {*} х S1, называется тривиально расслоенным полноторием. Чтобы определить нетривиально расслоенное полноторие, выберем пару взаимно простых чисел а, и, где а > 1. Возьмем цилиндр D2 х 7 и склеим его основания по диффеоморфизму, являющемуся поворотом на Рис. 3.8
угол В результате получится полноторие.
Разбиение цилиндра на отрезки вида {*} х I определяет разбиение этого полнотория на окружности, называемые слоями. Один из слоев, который получается склеиванием концов отрезка {0} х/, один раз обходит тор. Он называется особым. Каждый другой слой обходит тор ровно а раз. Число а называется кратностью
154
Грубая эквивалентность интегрируемых систем
особого слоя. Пара чисел (а, р) называется параметрами расслоенного полното-рия, а также параметрами его особого слоя.
На рис. 3.8 изображено расслоенное полноторие типа (3, 2), а на рис. 3.9 условно изображены слои расслоенного полнотория общего типа.
Определение 3.1. Компактное ориентируемое трехмерное многообразие (с краем или без края), разбитое на непересекающиеся простые замкнутые кривые (слои), называется многообразием Зейферта, если каждый слой имеет целиком состоящую из слоев окрестность, послойно гомеоморфную расслоенному полно-торию. Многообразие Зейферта с заданной на нем структурой слоев называется расслоением Зейферта.
