Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Как мы знаем, для /-графов вводится естественное отношение эквивалентности. См. выше параграф 7. Аналогичное отношение эквивалентности возникает и при появлении атомов в теории потоков Морса. Здесь это связано с неоднозначностью выбора ориентации на окружностях вокруг источников. Легко видеть, что оба отношения эквивалентности в действительности совпадают.
Отметим, впрочем, что если поверхность М ориентирована, то все окружности могут быть снабжены канонической ориентацией, в результате чего все метки станут равны +1, и о них можно будет забыть.
В изложенной выше конструкции предполагается существование по крайней мере одного седла у потока Морса. Но есть простейший поток Морса, у которого ни одного седла нет. Это градиентный поток функции высоты на двумерной сфере (рис. 2.80). Он течет из южного полюса в северный вдоль меридианов. У такого потока нет естественно определенного графа. Но он здесь и не нужен, поскольку такой поток только один, с точностью до траекторной топологической эквивалентности. В дальнейшем будем считать, что рассматриваемые нами потоки Морса отличны от указанного простейшего, то есть имеют хотя бы одно седло.
Легко видеть из нашего построения, что /-граф потока Морса, рассматриваемый с точностью до эквивалентности, является траекторным топологическим инвариантом потока. Более того, можно показать, что этот инвариант является классифицирующим, т. е. справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.22 (классификация потоков Морса на поверхностях).
а) Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между /-атомами и потоками Морса на поверхностях, рассматриваемыми с точностью до топологической траекторной эквивалентности.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
137
б) Два потока Морса v\ и v2, не являющиеся простейшими, на двумерных поверхностях Mi и М2, топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие им / -графы.
В такой формулировке теорема классификации была получена В. В. Шарко и А. А. Ошемковым. Отсюда сразу следует, что траекторная топологическая классификация потоков Морса совпадает с классификацией /-атомов, то есть фактически атомов. Классификация атомов была уже получена ранее в работе А. В. Болсинова, С. В. Матвеева, А. Т. Фоменко [30] и подробно описана выше, в настоящей главе.
В то же время нужно отметить, что описанная связь между потоками Морса и /-атомами фактически содержится в работе К. Р. Мейера 1968 года [333]. Хотя у него не было классификации атомов (/-атомов). Опишем эту связь явно. Пусть дан поток Морса v. Поскольку он градиентно-подобен по определению, то он непрерывно траекторно эквивалентен градиентному потоку некоторой функции /. Можно было сразу взять эту функцию в качестве инварианта потока. Однако этого делать нельзя, так как функция / определена на самом деле неоднозначно. В частности, она зависит от выбора римановой метрики. Чтобы устранить произвол, можно, оказывается, поступить так. Достаточно выбрать такую функцию /, у которой все седловые критические точки расположены на одном уровне. Тот факт, что такая функция всегда существует, можно усмотреть из сформулированной выше теоремы о соответствии между потоками Морса и /-графами. Берем поток Морса v, затем берем отвечающий ему /-граф, который, по своему определению, уже вложен в исходную поверхность М. Затем строим функцию, отвечающую этому /-графу. Все ее седловые критические точки очевидно лежат на одном уровне.
Теорема 2.23 (Meyer К. R. [333]).
Пусть М — замкнутая двумерная поверхность с некоторой римановой метрикой.
а) Сопоставим каждой функции f, седловые точки которой лежат на одном уровне, ее градиентный поток относительно выбранной римановой метрики. Это сопоставление устанавливает естественное взаимно-однозначное соответствие между классами послойной эквивалентности таких функций на поверхности и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса.
б) Это взаимно-однозначное соответствие не зависит от выбора римановой метрики на поверхности.
Классы послойной эквивалентности функций с указанным свойством взаимно-однозначно отвечают /-атомам.
Все сказанное относилось пока лишь к потокам Морса. Однако переход от них к общим потокам Морса-Смейла полностью аналогичен переходу от атомов к молекулам. Оказывается, потоки Морса-Смейла классифицируются молекулами, составленными из атомов. Подробнее об этом см. в приложении в конце книги. Там же перечислены все потоки Морса и потоки Морса-Смейла малой сложности, т.е. с малым числом критических точек и периодических траекторий.
Таблицы к главе 2
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
139
140
Глава 2
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
141
142
Глава 2
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
143
144
Глава 2
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
145
№ Атом /-графы Код Род
23 А (О -н2< X/
