Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что возмущение функции Морса, делающее сложную молекулу простой, может разрушить исходную симметрию функции Морса. Наличие симметрии обычно делает молекулу сложной. Возмущая функцию, мы теряем информацию о симметриях. Поэтому, желая изучать симметрии функций, следует изучать именно сложные атомы и молекулы, а не их возмущения.
Обсудим теперь следующий общий вопрос. Возьмем две функции Морса / и g на одной и той же двумерной замкнутой поверхности и попытаемся гладко продеформировать их друг в друга в классе функций Морса. Спрашивается, когда это возможно? Какие условия нужно наложить на функции, чтобы они деформировались друг в друга указанным образом? Одно из очевидных необходимых условий состоит в том, что функции fag должны иметь одинаковое
130
Глава 2
а)
Ю
с)
d)
Рис. 2.75
число локальных минимумов и одинаковое число локальных максимумов. Тогда, очевидно, и количество г седловых критических точек у них совпадет. Ясно, что г = р + q — х(М), где х(М) =2 — 2g или 2 — ц — эйлерова характеристика поверхности М, g и ц — род поверхности М (число ручек в ориентируемом и число пленок Мебиуса в неориентируемом случае).
Необходимость указанного условия вытекает из того, что в процессе деформации не должны рождаться и уничтожаться критические точки, поскольку любое «рождение» или «уничтожение» означает переход через неморсовскую особенность.
Следовательно, вопрос нужно ставить так: является ли линейно связным пространство функций Морса на данной двумерной замкнутой поверхности с фиксированным числом локальных минимумов и максимумов? Сразу возникает естественная мысль — изучить деформации функций Морса при помощи молекул. Нетрудно показать, что если изобразить обе указанные функции Морса / и g в виде молекул W(f) и W(g), то можно построить деформацию одной молекулы в другую посредством серии последовательных элементарных перестроек. На первом шаге эти молекулы можно превратить в простые молекулы (только с атомами А и В). Затем следует рассмотреть элементарные перестройки, меняющие местами два соседних седла на молекуле. Эти перестройки можно описать так. Всего их четыре и все они изображены на рис. 2.75 (a, b, c,d) и на рис. 2.76. Каждая перестройка описывается одним из атомов Ci, С2, Di, D2.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
131
\1
В
I
в'
/\
2>,
\/
С,
На рисунке 2.75 показана соответствующая перестройка уровней функции Морса. Таким образом, элементарные перестройки позволяют упрощать молекулы функций Морса.
Теорема 2.18 (Е. А. Кудрявцева). Пусть / — любая простая функция Морса на двумерной замкнутой поверхности, uW(f) — ее молекула. Тогда посредством описанных выше четырех элементарных перестроек эта молекула всегда может быть приведена к каноническому виду, показанному на рис. 2.11.
Поскольку молекула W определяет функцию Морса с точностью до послойного диффеоморфизма поверхности на себя, то из этой теоремы вытекает следующее утверждение.
Следствие. Любые две функции Морса fug (не обязательно простые) с одинаковым числом локальных минимумов и максимумов на замкнутой двумерной поверхности можно гладко продеформировать друг в друга с точностью до диффеоморфизма поверхности на себя. То есть, всегда существует такой диффеоморфизм ?: М2 М2 и гладкая деформация (f)t: М2 Ж, где ф0 = f, такие,
что g = ф1 о
000-0 /
\/
В
/и
\/
в
V
\/
в'
I
в
¦А
Рис. 2.76
а А А А ~ А А А
8-8-В-В-В В-В В-В В-В 8-В-В-В'
д/ w w
Рис. 2.77
На самом деле верен более сильный факт, а именно, что пространство функций Морса с фиксированным числом минимумов и максимумов на замкнутой двумерной поверхности линейно связно. Нам не удалось найти доказательства этого утверждения в литературе. Доказательство, которое нам известно, было совсем недавно получено С. В. Матвеевым. Отметим, что оно весьма нетривиально и использует довольно глубокую технику маломерной топологии. Как сообщил авторам Х.Цишанг, это утверждение может быть также доказано при помощи алгебраической техники Нильсена.
Рассмотрим произвольную замкнутую двумерную поверхность М. Обозначим через F(M, р, q) совокупность всех функций Морса на этой поверхности, имеющих фиксированное число р точек локальных минимумов и фиксированное число q точек локальных максимумов.
Теорема 2.19 (С. В. Матвеев). Пространство функций Морса F(M, р, q) линейно связно.
132
Глава 2
Эту теорему полезно переформулировать на языке поверхностей с краем. Пусть Р — поверхность с краем, граничные компоненты которой разбиты на два класса д+Р и д-Р: положительные и отрицательные окружности. Пусть имеется р отрицательных окружностей и q положительных. Обозначим через F(P) пространство всех функций / Морса на поверхности Р со следующими свойствами.
