Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
В качестве примера рассмотрим следующую пару коммутирующих функций:
h =Piqi,
h =P2q2 + A(pi, gi),
Рис. 1.13
Рис. 1.14
Основные понятия
63
где Л — функция класса С°° (но не аналитическая), задаваемая формулой
где функция h(x) имеет ноль бесконечного порядка при х = 0. Особые точки заполняют здесь две поверхности {р\ = 0, q\ = 0}, и {р2 = 0, q2 = 0}. Бифуркационная диаграмма на плоскости с координатами Д, Д состоит из двух прямых Д = 0, f2 = 0, и кривой f2 = h(fi). См. рис. 1.14. Видно, что в нуле происходит бесконечно гладкое расщепление оси Д.
1.11. Основные типы эквивалентностей динамических
Мы будем рассматривать гладкие динамические системы и следующие шесть типов их эквивалентности:
1) Топологическая сопряженность динамических систем.
2) Гладкая сопряженность динамических систем.
3) Траекторная топологическая эквивалентность динамических систем.
4) Траекторная гладкая эквивалентность динамических систем.
5) Лиувиллева эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем.
6) Грубая лиувиллева эквивалентность интегрируемых гамильтоновых сис-
Определение 1.27. Две гладкие динамические системы v\ и v2 на гладких многообразиях Q\ и Q2 называются топологически сопряженными (соотв. гладко сопряженными), если существует гомеоморфизм (соотв. диффеоморфизм) т: Qi —> Q2, переводящий поток а{ (отвечающий системе v\) в поток (отвечающий системе v2), т.е. = т о а\ о г-1.
Для гладких систем их гладкая сопряженность означает, что существует диффеоморфизм т, переводящий v± в v2, т.е. dr(vi) = v2. Другими словами, гладко сопряженные системы получаются друг из друга регулярной заменой координат. Поэтому сопряженность — самое сильное отношение эквивалентности на множестве динамических систем, означающее по существу изоморфизм. Фактически, с точки зрения обыкновенных дифференциальных уравнений сопряженные системы представляют одно и то же уравнение, записанное в разных координатах.
Определение 1.28. Пусть vi и v2 — две гладкие динамические системы на многообразиях Q\ и Q2. Они называются топологически (гладко) траекторно эквивалентными, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) ?: Qi —> Q2, переводящий ориентированные траектории первой системы в ориентированные траектории второй системы.
h(piqi) при pi > 0, </i > 0,
0 в остальных случаях,
систем
тем.
64
Глава 1
При этом не требуется сохранения параметра (времени) на траекториях. Другими словами, траектория рассматривается здесь как кривая без параметризации (но с направлением, задаваемым потоком).
Прокомментируем это определение. Рассмотрим две системы дифференциальных уравнений ^ = f(x) и ^ = g(y). Что означает их (гладкая) траекторная
эквивалентность? Это означает, что найдется регулярная замена переменных и времени
х = х(у), dt = \{у) dr (здесь Х(у) > 0),
которая переводит первое уравнение во второе.
Пусть М4 — гладкое симплектическое многообразие, на котором задана интегрируемая гамильтонова система v = sgrad# с первым интегралом /. В этом случае на многообразии М возникает структура слоения Лиувилля. Напомним, что его слоями по определению являются связные компоненты совместных поверхностей уровня гамильтониана Н и интеграла /. Мы будем предполагать, что они компактны. В частности, все регулярные слои представляют собой двумерные торы Лиувилля.
Фиксировав значение гамильтониана, мы получаем также слоение Лиувилля на фиксированной изоэнергетической 3-поверхности Q3 = {Н = h}. Мы будем предполагать здесь, что Q3 = Q^ является гладким компактным многообразием.
Определение 1.29. Две интегрируемые гамильтоновы системы vi и v2 на М4 и (соответственно, на Q3 и Q3) называются лиувиллево эквивалентными, если существует диффеоморфизм М4 на (соответственно, Q3 на Q3), переводящий слоение Лиувилля первой системы в слоение Лиувилля второй системы.
Другими словами, системы лиувиллево эквивалентны, если они имеют одинаковые слоения Лиувилля.
Определение 1.30. Пусть v — интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система на М4. Рассмотрим соответствующее ей слоение Лиувилля на М4. Базой слоения Лиувилля называется пространство его слоев с обычной фактор-топологией, т. е. топологическое пространство, точками которого объявляются слои слоения Лиувилля (каждый слой заменяется точкой).
Аналогично определяется база слоения Лиувилля на Q3.
В типичных случаях база слоения Лиувилля является не только хаусдорфо-вым пространством, но даже клеточным комплексом.
Определение 1.31. Две интегрируемые гамильтоновы системы v\ и v2 называются грубо лиувиллево эквивалентными, если существует гомеоморфизм между базами соответствующих слоений Лиувилля, который локально (т.е. в окрестности каждой точки базы) поднимается до послойного гомеоморфизма слоений Лиувилля.
Это определение имеет смысл как для гамильтоновых систем, заданных на симплектических многообразиях М4 и в целом, так и для их ограничений на изоэнергетические 3-поверхностях Ql и Q3.
