Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
б) У каждой точки х из существует открытая окрестность U в К{, диффеоморфная 2-диску, такая, что ее образ T(U) в Ж2 является гладкой регулярной дугой S без самопересечений.
Основные понятия
49
в) Пусть S = (а, b) — касательный вектор к кривой S в точке Т(х). Тогда выполнено соотношение:
b sgradН(х) — а sgrad/(ж) = 0.
Доказательство.
Воспользуемся определением 1.21 невырожденности критических точек. Выберем каноническую систему координат (pi, qi, р2, q2), в которой Н = pi, / = /(РъР2, q2)- Тогда в окрестности точки х множество критических точек
отображения момента Т задается двумя уравнениями: Щ— = 0, тг~ = 0. В силу
ор2 oq2
невырожденности матрицы
( я2/ d2f \
др\ dp2dq2
d2f d2f
\dp2dq2 dqi /
эти два уравнения определяют (локально) гладкое двумерное подмногообразие в М. Поскольку матрица остается невырожденной и в некоторой окрестности точки х, то все критические точки, попавшие в эту окрестность, тоже оказываются невырожденными. Так как указанная выше матрица является частью
матрицы Якоби для двух уравнений — 0, — 0, то по теореме о неявных
ор2 oq2
функциях получаем, что переменные р2, q2 локально выражаются как гладкие однозначные функции от pi, qi, т.е. множество К* локально представляется в виде гладкого графика.
Покажем, что К* — симплектическое 2-многообразие. Для этого нужно доказать, что ограничение на него формы ш невырождено.
В самом деле, подставляя в 2-форму ш = dpi Л dqi + dp2 Л dq2 функции р2 =
— P2(Pi, qi) и q2 = q2(pi, qi) и вспоминая, что на самом деле от qi они не зависят, т.е. р2 = p2{pi) и q2 = q2{pi), мы видим, что ограничение формы ш на К* совпадает с dpi Л dqi, а потому невырождено.
Докажем второе утверждение предложения 1.18.
Запишем отображение момента в координатах (pi, qi, р2, q2) и ограничим его на К*. Так как в качестве локальных координат на К* можно взять pi и qi, и так как р2 = p2(pi) и q2 = q2(pi), то отображение момента будет иметь вид:
Н = pi, / = fiPi, P2(pi), q2(pi)) = fipi)•
Таким образом, образ малой окрестности точки х в К* при отображении момента является гладкой дугой, заданной в виде графика / = f(pi) = f(H).
Осталось доказать утверждение (в) предложения 1.18.
В выбранной нами системе координат мы имеем:
sgrad/(ж) = sgrad#(ж).
50
Глава 1
С другой стороны, выбирая р\ в качестве локального параметра на дуге <$, получаем
Следствие. Пусть х € К* и прямая Н = Н(х) трансверсально пересекает бифуркационную диаграмму ? в точке Т(х). Тогда х является регулярной точкой для функции Н, ограниченной на К±.
Доказательство.
При сделанных предположениях, как мы видели выше, всегда можно считать, что функци Н имеет вид р\, в то время как р\ и q\ — регулярные локальные координаты на подмногообразии К* в окрестности точки х. Следовательно, функция Н особенности здесь не имеет. Следствие доказано. ¦
Множество К* состоит из одномерных орбит пуассонова действия группы Ж2. Выбросим из К* все некомпактные, т. е. гомеоморфные прямым, орбиты этой группы. Оставшаяся часть К** расслоена на окружности.
Разобьем теперь К** на компоненты линейной связности.
Следствие. Образ (при отображении Т) каждой компоненты связности К±* в Ж2 является либо гладким погружением прямой, либо гладким погружением окружности.
Теперь мы можем наглядно описать, как формулируется условие, что интеграл / является функцией Ботта на изоэнергетической поверхности Q = {Н = = const}. Нужно взять прямую Н = const на двумерной плоскости Ж2 (Н, /). Допустим, что эта прямая не проходит через сингулярные точки ? и пересекает гладкие дуги ? трансверсально. Тогда / будет функцией Ботта на 3-многообразии Q, являющемся прообразом этой прямой в М4. Причем все ее критические подмногообразия будут окружностями, т. е. среди них не будет ни торов, ни бутылок Клейна.
Пусть теперь х € К0, т.е. dH(x) = df(x) = 0, т.е. х — неподвижная точка пуассонова действия группы Ж2. Тогда эта группа естественно действует на каса-
Предложение 1.18 доказано.
Рис. 1.10
Рассмотрим множество К — К{*. Оно состоит из одномерных некомпактных орбит действия группы Ж2, одномерных вырожденных орбит и нульмерных орбит (неподвижных точек действия). Рассмотрим теперь его образ Т{К — К±*) как подмножество в бифуркационной диаграмме и назовем его множеством ее сингулярных точек. Таким образом, ? состоит из гладких регулярных кривых (быть может пересекающихся) и сингулярных точек, среди которых могут быть отдельные изолированные точки ?, точки возврата, касания и т. п. См. рис. 1.10.
Основные понятия
51
тельной плоскости ТХМ к многообразию М в точке х. Так как группа сохраняет 2-форму ш, то она индуцирует симплектические преобразования в ТХМ. Получаем некоторую абелеву подгруппу G(H, /) в группе Sp(4, М) симплектических преобразований ТХМ. Через К(Н, /) обозначим ее алгебру Ли. Она является некоторой коммутативной подалгеброй в алгебре Ли sp(4, М) группы Sp(4, М). Легко видеть, что подалгебра К(Н, /) порождается линейными частями векторных полей sgradН и sgrad/.
