Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
простой процедурой. Нужно попарно склеить концы креста с учетом их ориентации. Ясно, что число различных способов склейки равно трем. Соответствующие склейки показаны на рис. 2.11. В результате мы получаем два различных ориентируемых /-атома, отвечающих атому В, и один неориентируемый /-атом, отвечающий атому В. Таким образом, в случае седлового атома никаких других возможностей нет. Теорема доказана. ¦
2.5. Простые молекулы
2.5.1. Определение простой молекулы
Пусть / — простая функция Морса на компактной замкнутой поверхности X2, ориентируемой или неориентируемой. Рассмотрим ее граф Риба Г. Его вершины отвечают критическим слоям функции Морса. Заменим эти вершины соответствующими атомами, то есть либо атомом А, либо атомом В, либо атомом В. При этом мы считаем, что для каждого атома фиксирована его каноническая модель, описанная выше. Каждому ребру графа Риба, инцидентному с какой-либо его вершиной, мы сопоставляем одну из граничных окружностей
76
Глава 2
модели атома, отвечающего данной вершине. Это соответствие считается фиксированным. Это замечание существенно только для атома В (в случае простых атомов), поскольку у него неравноправны три граничные окружности, отвечающие ребрам графа Риба, выходящим из вершины кратности три.
Определение 2.7. Получившийся граф будем называть простой молекулой W.
Пока понятие простой молекулы фактически ничем не отличается от понятия графа Риба. Однако для сложных функций Морса молекула W будет нести в себе больше информации, чем граф Риба Г.
Определение 2.8. Ориентируем ребра простой молекулы W по направлению роста функции /. Получившийся граф назовем простой /-молекулой.
2.5.2. Теорема реализации
Рассмотрим конечный связный граф с вершинами степеней 1, 2 и 3. В каждую вершину кратности 1 поместим атом А. В каждую вершину кратности 2 поместим атом В, и в каждую вершину кратности 3 — атом В. Снабдим каждое ребро графа ориентацией таким образом, чтобы каждый седловой атом приобрел хотя бы одно входящее и хотя бы одно выходящее ребро.
Предположим далее, что этот граф допускает погружение в 2-плоскость, при котором все его ребра будут ориентированы вверх.
Теорема 2.3. Любой такой граф является простой молекулой, т. е. существует такая поверхность и такая простая функция Морса на ней, что ее молекула совпадает с заданным графом.
Доказательство теоремы очевидно. ¦
Отметим, что если поверхностях2 ориентируема, то в молекуле W любой простой функции на X нет атомов В.
Теорема 2.4. Пусть И^(Х2, /) и W(Y2-> g) — простые молекулы двух простых функций Морса на ориентированных поверхностях X и Y. Если молекулы совпадают, то поверхности X и Y диффеоморфны, а функции fug послойно эквивалентны.
Доказательство.
Действительно, молекула сообщает нам — из каких кусков нам следует склеивать поверхность и какие компоненты их границ нужно склеивать. При этом склеивать куски нужно, согласовывая на них ориентации. Для этого нужно задать ориентацию на каждом атоме. Это можно сделать двумя способами. Для простых атомов А и В всегда существует гомеоморфизм атома на себя, меняющий ориентацию атома, но сохраняющий его слоение. Поэтому результат склейки от выбора ориентации на каждом атоме не зависит. Теорема доказана. ¦
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
77
2.5.3. Примеры простых функций Морса и простых молекул
Пример 1. Рассмотрим на 2-торе стандартную функцию высоты при вложении тора в Ж3, показанном на рис. 2.3. Ясно, что эта функция является простой и ее молекула имеет вид, показанный на рис. 2.12. Легко видеть, что эта функция Морса на 2-торе является минимальной, т. е. имеет наименьшее возможное число невырожденных критических точек.
fi
Л
О
В
( ) В
3
() в
Рис. 2.12
Рис. 2.13
Пример 2. Минимальная простая функция Морса на кренделе, т.е. на сфере с двумя ручками, реализуется как функция высоты при вложении кренделя, показанном на рис. 2.13. Там же показана и соответствующая простая молекула.
Пример 3. Минимальная простая функция Морса на проективной плоскости RP2 строится так. Напомним, что проективная плоскость может быть представлена как результат склейки квадрата, что показано на рис. 2.14. На рис. 2.15 показано слоение ШР2 на линии уровня минимальной простой функции Морса, и изображена соответствующая молекула.
Эту функцию можно записать еще и так. Рассмотрим на RP2 однородные координаты (х : у : z).
Тогда искомая простая функция имеет вид
х2 + 2 у2 + 3 z2 х2 + у2 + z2 Рис. 2.14
Пример 4. Минимальная простая функция Морса на бутылке Клейна строится так. Зададим бутылку Клейна в виде склейки квадрата, показанной на рис. 2.16. Тогда линии уровня искомой функции и соответствующая простая молекула показаны на рис. 2.17.
Интересно, что эту функцию можно реализовать как функцию высоты при подходящем погружении бутылки Клейна в М3. Для этого нужно рассмотреть ее
