Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
П(4.(??), r,L) = -«(??, A,(VL)),
которое согласно предложению 1.3 эквивалентно условию As ? sp(2(n — г), М). Имеем
rjL) = Q(A.(t)L, rjL) = П(А.(0, v) =
-П(?, A.(rj)) = -QfcL, A8(rj)L) = -П(?Ь, Aa(rjL)).
Лемма доказана. ¦
Теперь мы можем рассмотреть в вещественной симплектической алгебре Ли sp(2(n — г), М) коммутативную подалгебру К(х, Т), порожденную операторами Аг, ... , An-i.
Определение 1.24. Критическая точка х ? К{ отображения момента Т называется невырожденной, если К(х, Т) — подалгебра Картана в sp(2(n — г), М).
56
Глава 1
Отметим, что подалгебра К(х, Т) зависит только от точки ж и от отображения момента Т. В частности, она не зависит от сделанной выше линейной замены функций Д, ... , fn на функции gi, ... , gn. На самом деле подалгебра К(х, Т) полностью определяется пуассоновым действием группы Ж.те в окрестности точки х.
Отметим, что описанная выше процедура фактически эквивалентна локальной редукции по гамильтонову действию группы Ж1, порожденной независимыми в точке х функциями gn-i+1, ••• , gn- сначала мы делаем такую редукцию, чтобы точка х стала неподвижной, а затем для неподвижной точки ранга ноль повторяем определение, данное выше для двух степеней свободы.
Как проверить, является ли коммутативная подалгебра К(х, Т) подалгеброй Картана в sp(2(n — г), М) ? Критерий довольно прост. Она должна иметь размерность п — г и содержать элемент с различными собственными значениями. Это позволяет переформулировать определение невырожденной точки следующим образом.
Определение 1.25. Критическая точка х ранга г невырождена тогда и только тогда, когда гессианы d2gi(x), ... , d2gn~i{x) линейно независимы на V и для ограничения на подпространство L' некоторой их линейной комбинации Ai d2gi_(x) + ... + An-i d2gn-i(x) многочлен
P(fjt) = det(Ai d2gt{x) + ... + An-i d2gn-i{x) - цЩи
имеет 2(n — i) различных ненулевых корней.
Это определение можно еще переформулировать так.
Рассмотрим пространство, линейно порожденное функциями Д, ... , fn, как коммутативную алгебру Ли. И рассмотрим в ней стационарную подалгебру точки х, т.е. подалгебру Кх, состоящую из функций / таких, что df(x) = 0. Пусть L — касательное подпространство к орбите точке х, т.е. подпространство, порожденное векторами sgrad Д, ... , sgrad fn, а V — его косоортогональное дополнение.
Определение 1.26. Критическая точка х ранга г называется невырожденной, если выполнены два условия:
1) для любой функции / 6 Кх, отличной от нуля, квадратичная форма d2 f(x) не равна тождественно нулю на подпространстве L'\
2) существует функция / из Кх такая, что многочлен
Р(/л) = det(d2f(x) - ijlQ)\l> имеет 2(n — г) различных ненулевых корней.
Поясним связь последнего определения с двумя предыдущими. Легко видеть, что подалгебра К(х, Т) является образом стационарной подалгебры Кх точки х при естественном отображении / —> d2f(x). Первое условие в определении 1.25
Основные понятия
57
означает, что это отображение является изоморфизмом и, следовательно, эквивалентно тому, что dimК(х, Т) = п — г. Второе условие означает, что подалгебра К(х, Т) содержит регулярный элемент (т.е. оператор с различными собственными значениями). Отметим также, что пространство Lна которое мы ограничиваем все гессианы, имеет размерность 2п — г, поэтому многочлен Р(ц) из двух последних определений имеет 2п — i корней. Однако, i из этих корней всегда равны нулю, поскольку г-мерное подпространство L С L1 лежит в ядре всех гессианов. Требование заключается в том, чтобы все остальные корни были различны.
Обозначим через К\ множество невырожденных критических точек ранга i отображения момента. Можно доказать, что оно всегда является гладким симплектическим подмногообразием в М2п размерности 2г. Кроме того, оно гладко расслоено на г-мерные орбиты пуассонова действия группы Жп.
Стоит особо выделить класс интегрируемых систем, у которых все критические точки (всех рангов) отображения момента невырождены. Такие системы действительно существуют, и ниже мы приведем примеры.
1.10.4. Типы невырожденных особенностей в многомерном случае
Согласно определению 1.24 критическая точка ранга i отображения момента Т является невырожденной в том и только в том случае, когда подалгебра К(х, Т) в вещественной симплектической алгебре Ли sp(2(n — i), Ж.) является картановской. Напомним, что в отличие от случая комплексной симплектической алгебры Ли sp(n — г, С), в вещественной алгебре Ли sp(2(n — г), Ж.) существуют несопряженные картановские подалгебры. Они имеют разные типы, и эти типы фактически классифицируют невырожденные точки отображения момента в вещественном случае. Такая классификация была предложена Вильямсоном (J. Williamson) [391]. Чтобы сформулировать его теорему, удобно смоделировать вещественную алгебру Ли sp(2m, Ж) как пространство однородных квадратичных полиномов в симплектическом пространстве Ж2т с канонической линейной
