Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
2.4.2. Случай ориентируемого седла. Атом В
Если с — критическое седловое значение, то линия уровня является восьмеркой. Когда а стремится к с, то две окружности сближаются и сливаются в одной точке. Возникает перестройка линии уровня.
Рис. 2.5
Этот процесс показан на рис. 2.5. Меняя направление движения, можно говорить, наоборот, о распаде одной окружности на две. Исходная окружность перетягивается, возникает перемычка, затем две точки окружности слипаются, после чего получившаяся восьмерка распадается на две окружности. Поступая как и в предыдущем случае, т. е. изображая каждую регулярную окружность точкой, и прослеживая их эволюцию при изменении уровня, получаем граф, показанный на рис. 2.6. Этот атом мы обозначим через В.
Ему также отвечают два /-атома. Они получаются, когда мы поставим стрелки на трех ребрах, инцидентных с В на рис. 2.6. Соответствующий граф с ориентированными ребрами описывает либо распад одной окружности на две, либо, напротив, слияние двух окружностей в одну.
Атом В можно изобразить несколько по-другому (рис. 2.5), т.е. в виде плоского диска с двумя дырками, расслоенного на линии уровня функции Морса.
2.4.3. Случай неориентируемого седла. Атом В
Теперь откажемся от гипотезы ориентируемости X2. Перестройки типа А устроены одинаково — как в ориентируемом, так и в неориентируемом случаях. Отличие возникает в случае седла. Сначала вспомним, как реально происходит седловая перестройка в ориентируемом случае. Она показана на рис. 2.7. К окружности, являющейся одной из компонент края многообразия {/(ж) ^ с — е}, где е — малая величина, приклеивается узкая полоска, прямоугольник. Причем, приклейка происходит таким образом, что получающаяся поверхность остается ориентируемой. После перестройки граница оказывается гомеоморфной объединению двух окружностей. При замене функции / на функцию —/ направление
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
73
Рис. 2.8
74
Глава 2
перестройки меняется: две граничные окружности превращаются в одну.
Теперь перейдем к случаю, когда перестройка происходит внутри неориентируемой поверхности. Некоторые перестройки индекса 1, т.е. седловые, могут быть устроены здесь как и в ориентируемом случае. Однако, заведомо есть по крайней мере одна перестройка, устроенная принципиально по-друго-му. Она показана на рис. 2.8. Здесь перекрученный на 180° прямоугольник приклеивается к одной и той же граничной окружности поверхности с краем. В результате внутри поверхности {/ ^ с + е} появляется новый лист Мебиуса. Ясно, что здесь после перестройки прежняя граничная окружность превращается снова в одну граничную окружность. Таким образом, при переходе через критический уровень с одна окружность преобразуется снова в одну окружность. Используя введенную выше символику, т. е. изображая каждую неособую линию уровня — точкой, мы должны нарисовать описанную только что эволюцию так, как показано на рис. 2.8: ребро графа, в середине которого поставлена буква В. Эта буква условно обозначает неориентируемую перестройку.
На рис. 2.9 изображена поверхность Р2 = f~1(c — s, с + е) для неориентиру-емого атома В. Она получается склейкой двух листов Мебиуса.
Рис. 2.9
2.4.4. Классификация простых атомов
Теорема 2.2. Любой простой атом совпадает либо с атомом А, либо с атомом В, либо с атомом В. Этим трем атомам отвечают пять /-атомов: два — для атома А, два — для атома В и один — для атома В.
Доказательство.
Из леммы Морса вытекает, что любая перестройка поверхности {/ ^ с — е}, где / — простая функция Морса, при переходе через критической уровень с сводится либо к приклейке 2-диска к границе множества {/ ^ с — е}, либо к приклейке прямоугольника. Приклейка 2^диска дает атом А. Приклейка прямоугольника дает либо атом В, либо атом В.
Отметим, что каждый из атомов А и В появляется в теории простых функций Морса двумя способами. Атом А может отвечать либо минимуму, либо максимуму функции. Атом В может описывать либо распад одной окружности, т. е. линии уровня функции, на две окружности, либо, наоборот, слияние двух окружностей в одну. Ясно, что эти перестройки переходят друг в друга при замене функции / на функцию —/. ¦
Можно дать и другое доказательство теоремы 2.2, полезное для понимания топологии атомов.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
75
Г
Рис. 2.10
Рис. 2.11
Доказательство.
Рассмотрим малую окрестность критической седловой точки функции Морса, гомеоморфную диску, выделим в этой окрестности область {с—г ^ / ^ с+е}. Отметим в ней области положительности и отрицательности функции Морса. Получим объект, который иногда в дальнейшем будем называть крестом (рис. 2.10). Концами креста будем называть четыре ориентированных отрезка а, /3, 7, S (рис. 2.10). Ориентация каждого из них указывает направление роста функции, т.е. ее градиента.
Вся поверхность Р2 = {с — е ^ ^ с + е} получается из этого креста