Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Еще одно важное следствие теоремы 1.7 состоит в том, что локально невырожденная особенность имеет тип прямого произведения, в котором каждый сомножитель представляет собой элементарную особенность, а их число равно т = г + mi + m2 + m3. Более точно мы имеем в виду следующее. Симплектическое многообразие М2п может быть представлено в виде декартова произведения М2п = Mi х ... х Мт симплектических многообразий, на каждом из которых задано отображение момента с элементарной особенностью. Это отображение задается одной из модельных функций Fj, Fk, Fs или парой Fi, -F/+1.
Это разложение позволяет понять, как выглядит бифуркационная диаграмма в окрестности невырожденной особой точки. Она будет диффеоморфна бифуркационной диаграмме модельного отображения момента ТСяп, которую мы в дальнейшем будем называть канонической бифуркационной диаграммой и обозначать через Есап. Опишем ее структуру более подробно.
Сначала посмотрим, как локально выглядит образ отображения момента и бифуркационная диаграмма для элементарных невырожденных особенностей. Таких особенностей три — центр, седло и фокус. Кроме них в разложении учас-
60
Глава 1
твуют сомножители без особенностей (задаваемые четвертой группой функций вида Fs = ps). Формально можно считать, что мы имеем дело с тривиальной особенностью. Все четыре возможности перечислены на рис. 1.11:
а) М = Ж2, F = р2 + q2 (центр). Образ
^,_________________________ отображения момента — это луч, а бифуркаци-
а) Ъ) онная диаграмма Е — его вершина.
. b) М = М2, F = pq (седло). Образ отобра-
------------- жения момента — прямая, а Е — это точка на
ней.
с) d) c)M = M4,Fi = piq2~qiP2,F2 = piqi+p2q2
(фокус-фокус). Образ отображения момента — рис ^ ^ это плоскость, а Е — изолированная точка на
ней.
d) М = Ж2, F = р (регулярный случай). Образ отображения момента — прямая, а Е — пустое множество.
Поскольку модельная особенность имеет тип прямого произведения перечисленных четырех типов сомножителей, то и образ Uc&n отображения момента .Fcaii, и бифуркационная диаграмма Есап тоже разлагаются в прямое произведение в следующем естественном смысле. Рассмотрим образы Ui отображения момента для каждого из сомножителей Mi вместе с соответствующей бифуркационной диаграммой Е* С Ui. Тогда
Uc&n — Ui х ... х Um,
Sc.„ = !7can \ {(UA Si) X (U, \ E3) X ... x (U. \ S.)).
Поскольку все возможные сомножители, т.е. пары (?/*, Е*), нам известны и перечислены на рис. 1.11, то для невырожденной особенности каждого типа нетрудно явно описать ее локальную бифуркационную диаграмму Е. Конечно, здесь мы имеем в виду описание с точностью до диффеоморфизма.
Подчеркнем, что каждый из типов (г, mi, т2, т3) однозначно определяет свою бифуркационную диаграмму. Кроме того, для разных типов соответствующие бифуркационные диаграммы различны, т. е. имеется взаимно-однозначное соответствие между типами особенностей и их (локальными) бифуркационными диаграммами.
В качестве примера перечислим все бифуркационные диаграммы невырожденных особенностей для случая трех степеней свободы. Здесь четверки (г, mi, m2, m3) выглядят так:
1) (3,0,0,0) — регулярная точка,
2) (2,1,0,0) — эллиптическая особая точка ранга 2 (центр),
3) (2,0,1,0) — гиперболическая особая точка ранга 2 (седло),
4) (1,0,0,1) — фокус-фокус ранга 1,
5) (1,2,0,0) — центр-центр ранга 1,
Основные понятия
61
Z-0
а)
. : -х
Ъ)
d)
I)
Рис. 1.12
62
Глава 1
6) (1,1,1,0) --- центр-седло ранга 1,
7) (1,0,2,0) --- седло-седло ранга 1,
8) (0,3,0,0) --- центр-центр-центр ранга 0,
9) (0,2,1,0) --- центр-центр-седло ранга 0,
10) (0,1,2,0) --- центр-седло-седло ранга 0,
11) (0,0,3,0) --- седло-седло-седло ранга 0,
12) (0,1,0,1) --- центр-фокус-фокус ранга 0,
13) (0,0,1,1) --- седло-фокус-фокус ранга 0.
Соответствующие образы отображений момента и бифуркационные диаграммы ?сап в М3 изображены на рис. 1.12. Точечная штриховка указывает трехмерные области, заполненные образом отображения момента Тс&11. На рисунке показаны бифуркационные диаграммы ?сап для канонических моделей. Эти диаграммы составлены из кусков двумерных плоскостей и прямых. Если же рассматривается аналитическая интегрируемая система общего вида, то указанные картинки подвергнутся диффеоморфизму.
Если интегрируемая система не аналитическая, а гладкая, то могут появиться расщепления бифуркационных диаграмм, как показано на рис. 1.13. Некоторая дуга (или поверхность) диаграммы ? может в особой точке из ? расщепиться на две касающиеся дуги (или на две касающиеся поверхности). Подчеркнем, что касание поверхностей (или дуг), возникающее в момент расщепления диаграммы ?, обязано иметь бесконечный порядок. В аналитическом случае таких расщеплений, конечно, не бывает. Эффект гладкого расщепления связан с тем, что в седловом случае линия уровня pq = е несвязна и состоит из двух компонент. При этом каждая из них может отображаться независимо, «ничего не зная» о другой компоненте.
