Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 31

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 193 >> Следующая


Пусть / — функция Морса на компактном гладком многообразии Хп. Рассмотрим произвольную поверхность уровня /_1(а) и ее компоненты связности,
68

Глава 2

которые назовем слоями. В результате многообразие разбивается в объединение слоев, получается слоение с особенностями. Подчеркнем, что каждый слой связен, по определению. Объявляя каждый слой одной точкой и вводя естественную фактор-топологию в пространство Г слоев, получаем некоторое фактор-пространство. Его можно рассматривать как базу этого слоения. Для функции Морса пространство Г является графом.

Определение 2.2. Граф Г называется графом Риба для функции Морса / на многообразии Хп. Вершиной графа Риба назовем точку, отвечающую особому слою функции /, т.е. связной компоненте уровня, содержащей критическую точку функции. Вершину графа Риба назовем концевой, если она является концом ровно одного ребра графа. Все остальные вершины назовем внутренними.

а

4

W

Рис. 2.3

Рассмотрим для примера двумерный тор в R3, вложенный, как показано на рис. 2.3, и в качестве функции Морса возьмем естественную функцию высоты на торе. Тогда граф Риба имеет вид, показанный на рис. 2.3. На рис. 2.3 показан еще один пример функции Морса на кренделе — функция высоты. Здесь граф Риба устроен сложнее.

Лемма 2.1. Концевые вершины графа Риба взаимно-однозначно отвечают локальным минимумам и максимумам функции. Внутренние вершины графа Риба взаимно-однозначно отвечают особым слоям функции, содержащим седловые критические точки.

Доказател ъство.

Каждая критическая точка функции является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом, либо седловой точкой. В первых двух случаях она, очевидно, соответствует концевой вершине графа Риба (рис. 2.4). И наоборот, каждая концевая вершина графа Риба отвечает локальному минимуму или максимуму. В самом деле, допустим противное, т.е. что критическая точка — седловая. Можно считать, что функция / равна нулю в этой точке. Тогда в сколь угодно малой окрестности такой критической точки существуют точки, в которых функция принимает противо-

А

Рис. 2.4
Топология слоений, порождаемых функциями Морса

69

положные по знаку значения. Это означает, что в данную вершину графа Риба входят по крайней мере два ребра — на одном из которых функция положительна, а на другом — отрицательна. Получили противоречие. Лемма доказана. ¦

Если заранее известно, является ли изучаемая поверхность ориентируемой или неориентируемой, то граф Риба произвольной простой функции на ней позволяет восстановить топологию поверхности.

Теорема 2.1. Граф Риба простой функции Морса на замкнутой двумерной ориентируемой (или, соответственно, неориентируемой) поверхности X2 определяет эту поверхность однозначно с точностью до диффеоморфизма.

Доказательство.

Для простой функции Морса имеется взаимно-однозначное соответствие между ее критическими точками и вершинами графа Риба. В самом деле, каждая вершина графа Риба взаимно-однозначно отвечает критическому слою. В силу простоты функции, на нем — ровно одна критическая точка. В силу леммы 2.1 мы можем однозначно разбить вершины графа Риба на два класса: концевые — отвечающие локальным минимумам и максимумам, и внутренние — отвечающие седловым критическим точкам. Хорошо известно, что эйлерова характеристика двумерного многообразия равна разности числа локальных минимумов и максимумов, т.е. концевых вершин, и числа седел, т.е. внутренних вершин. Таким образом, опираясь только на граф Риба, мы можем найти эйлерову характеристику поверхности. Поскольку мы заранее знаем — ориентируема она, или нет, это и доказывает теорему, так как эйлерова характеристика является полным топологическим инвариантом поверхности как для ориентируемого, так и для неориентируемого случая. Теорема доказана. ¦

Если функция не является простой, то аналог теоремы 2.1 неверен. Дело в том, что здесь на особом слое может быть несколько критических точек. Поэтому знание числа и типа вершин графа Риба не позволяет найти эйлерову характеристику поверхности.

2.3. Понятие атома

Пусть / — функция Морса на поверхности X2. Пусть g — другая функция Морса на другой поверхности Y2. Возникает естественный вопрос: когда эти функции на поверхностях можно считать эквивалентными. Рассмотрим па-РУ {X2, /) и пару (Г2, g).

Определение 2.3. Функции Морса / и g на поверхностях X2 и Y2 будем называть послойно эквивалентными, если существует диффеоморфизм

A: X2 —у Y2,

переводящий связные компоненты линий уровня функции / в связные компоненты линий уровня функции g. Иногда будем говорить, что пара (X2, /) послойно эквивалентна паре (F2, g).
70

Глава 2

Замечание. При указанной послойной эквивалентности две связные компоненты какой-то одной линии уровня функции / могут отобразиться в связные компоненты, лежащие на разных линиях уровня функции g. То есть компоненты связности, бывшие изначально на одном уровне одной функции, могут расползаться на разные уровни другой функции.
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed