Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Определение 1.23. Скажем, что точка х 6 Kq является невырожденной особой точкой отображения момента Т, если подалгебра К(Н, /) является картанов-ской подалгеброй в sp{4, М).
В частности, из этого требования вытекает, что коммутативная подалгебра К(Н, /) должна быть двумерной.
Как проверить условие картановости подалгебры К(Н, /)? Прежде всего опишем эту подалгебру в терминах функций Н и /. Для этого рассмотрим их квадратичные части, т.е. гессианы d2H и d2f. Они порождают симплектические линейные операторы Ад = Vt~xd2H и Af = D_1d2/, совпадающие с линеаризациями векторных полей sgrad# и sgrad / в особой точке х G -Ко- Действительно, линеаризация, например, векторного поля w = sgrad / имеет вид
Итак, подалгебра К(Н, /) порождается линейными операторами Ан =
Коммутативная подалгебра в sp(4, М) является картановской тогда и только тогда, когда она двумерна и среди ее элементов найдется линейный оператор с различными собственными значениями.
Итак, сначала нужно убедиться, что формы d2 f и d2H независимы. Затем следует проверить, что некоторая линейная комбинация Л Af + цАн имеет различные собственные значения. Описанный алгоритм вполне эффективен и сводит задачу к несложным вычислениям.
Всего в вещественной алгебре Ли sp(4, М) имеется лишь 4 типа различных, т.е. попарно несопряженных, подалгебр Картана. Перечислим их. Пусть симплектическая структура ш задается (в точке х) канонической матрицей
Тогда алгебра Ли sp{4, М) запишется в стандартном матричном представлении в виде следующих 4 х 4-матриц (см. предложение 1.3):
dwl _ д dxi дх^
П~Ч2Н и Af= n~42f.
где Р, Q, R — матрицы размера 2x2, причем Q и R — симметричны, а Р — произвольная.
52
Глава 1
Теорема 1.3. Пусть К — подалгебра Картана в алгебре Ли sp(4, Ж). Тогда она сопряжена одной из четырех подалгебр Картана, перечисленных ниже:
(0 0 -А 0 ^ (-А 0 0 0
0 0 0 ---В ' 1 '¦% « м О 0 0 0 ---В
А 0 0 0 1 ип а 0 0 А 0
в 0 0 / ^ 0 в 0 0 J
(- -А 0 0 0\ /- -А -в 0 0
0 ---В 0 0 f/'| л В -А 0 0
0 0 А 0 1 ип -с 0 0 А ---В
к 0 0 0 в) 1 0 0 В
Здесь А, В — произвольные вещественные числа.
Перечисленные подалгебры попарно несопряжены.
Комментарий. Несопряженность описанных выше четырех типов подалгебр Картана следует из того, что их элементы имеют различные типы собственных значений:
1 тип — чисто мнимые корни г A, —iA, iB, —iB\
2 тип — два вещественных и два мнимых корня —A, A, iB, —iB;
3 тип — вещественные корни —А, А, —В, В\
4 тип — четыре комплексных корня А — iB, А + iB, —А + iB, —А — iB.
Рассмотрим произвольную подалгебру Картана в sp(4, Ж) и выберем в ней элемент, у которого все собственные значения различны (такой элемент называется регулярным). Из предложения 1.2 легко вывести, что собственные значения оператора из зр(4, Ж) разбиваются на пары вида Л, —Л. Отсюда следует, что спектр регулярного элемента имеет один из перечисленных выше четырех типов, и, следовательно, сам элемент сопряжен одной из матриц, указанных в теореме. При этом сопряжение можно осуществить симплектическим преобразованием (это эквивалентно тому, что оператор с простым спектром из алгебры Ли зр(4, Ж) можно привести к каноническому виду в симплектическом базисе). Поскольку два регулярных элемента алгебры Ли оказались сопряженными, то и содержащие их подалгебры Картана также сопряжены (при помощи того же симплектического преобразования). Это легко следует из того, что подалгебры Картана являются централизаторами своих регулярных элементов.
Отметим, что над полем комплексных чисел (то есть в комплексной алгебре Ли sp(4, С)) любые две картановские подалгебры сопряжены.
Теорему 1.3 можно переформулировать в виде ответа на вопрос — к какому каноническому виду приводятся квадратичные части коммутирующих функций Н и / в невырожденной особой точке отображения момента Т.
Теорема 1.4. В окрестности невырожденной особой точки х € К0 всегда существуют канонические координаты (pi, qi, Р2, (/г), в которых гессианы функций Н и / одновременно приводятся к одному из следующих видов:
Основные понятия
53
1) случай центр-центр:
d1 Н = А1 (dp\ + dqi) + Biidpl + dqi). d2f = A2(dpi + deft) + B2(dp I + dqi),
2) случай центр-седло:
d2H = Ai dpi dqi + Bi{dp\ + dq%), d2f = A2 dpi qi + B2(dp\ + dqi),
3) случай седло-седло:
d2H = Ai dpi dqi + Bi dp2 dq2, d2f = A2 dpi dqi + B2 dp2 dq2,
4) случай фокус-фокус:
d2H = Ai(dpi dqi + dp2 dq2) + Bi(dpi dq2 - dp2 dqi), d2f= A2(dpi dqi + dp2 dq2) + B2(dpi dq2 - dp2 dqi). Доказательство.
Сразу вытекает из приведенной выше алгебраической классификации кар-тановских подалгебр в sp(4, М). ¦
