Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
fix :у : Z)
78
Глава 2
А-----В-----А
Рис. 2.15
Ъ
KL'.- а а < =
Ъ
Рис. 2.16
1/2 Ь
Рис. 2.17
Рис. 2.18
Рис. 2.19
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
79
стандартное погружение и положить его на бок на горизонтальную 2-плоскость. Бутылку Клейна следует при этом раздуть так, чтобы функция высоты имела ровно один минимум и ровно один максимум.
Кстати, на бутылке Клейна существует еще одна простая функция Морса, молекула которой совпадает с простой молекулой функции на торе (рис. 2.12). Эта функция может быть реализована как функция высоты при погружении бутылки Клейна в М3 как показано на рис. 2.18. Мы изобразили также эволюцию линий уровня функции высоты. Отметьте, что в этой молекуле нет атома В, хотя бутылка Клейна неориентируема.
Пример 5. Вернемся еще раз к простой функции Морса на проективной плоскости, построенной в примере 3. Молекула здесь такова:
А----В------А.
Оказывается, эту функцию можно реализовать как функцию высоты при подходящем погружении ШР2 в М3. Оказывается далее, что нужное для этого погружение ШР2 является хорошо известной поверхностью Боя. Напомним ее конструкцию. Рассмотрим стандартное погружение бутылки Клейна, лежащее на боку на горизонтальной плоскости, разрежем его пополам горизонтальной плоскостью (рис. 2.19) и получим два листа Мебиуса. Возьмем только одну, нижнюю половинку, лист Мебиуса, показанный на рис. 2.19, и заклеим его диском, после чего получится ШР2. Удобно осуществить эту заклейку так. Поднимая плоскость вертикально вверх, будем гладко деформировать вложенный в нее край листа Мебиуса, как показано на рис. 2.20. Деформирующаяся кривая заметает при этом двумерное погруженное кольцо.
Когда граничная кривая расправится и превратится в стандартно вложенную окружность, заклеим ее диском. Лист Мебиуса, заклеенный диском, превращается в ШР2. Мы описали погружение проективной плоскости в М3, являющееся поверхностью Боя.
Рассмотрим функцию высоты как проекцию на вертикальную прямую. На рис. 2.21(a) изображены эволюция ее линий уровня. Видно, что у этой функции есть лишь одна седловая точка. Ввиду неориентируемости ШР2, эта точка должна отвечать неориентиру-емому седловому атому В. Получается искомая молекула
А-----В----А.
Можно еще одним способом, более наглядно, изобразить в М3 функцию высоты на ШР2 с молекулой А------В-----А. Рассмотрим известное изображение ШР2
в М3, показанное на рис. 2.21(b). Эта поверхность К с особенностями является алгебраической в!3 и может быть задана следующим полиномиальным уравнением:
(&1Ж2 + к2у2){х2 + у2 + z2) — 2 z(x2 + у2) = 0.
80
Глава 2
Расположим эту поверхность К в Ж3 вертикально и получим естественную функцию высоты h на ней.
\
О)
t
о
\
Минимум
Максимум
а)
О
/
Ю
Рис. 2.21
Ясно, что можно так подобрать гладкое отображение g проективной плоскости ЖР2 на поверхность К, что сквозное отображение hg: ЖР2 —> Ж1 будет функцией Морса.
Далее, видно, что у нее ровно три критические точки и ее молекула имеет вид А----В------А, что и требовалось доказать.
На рис. 2.21(b) отдельно показана модель с особенностью атома В в Ж3 такая, что одна граничная окружность — плоская, а вторая — погружена в плоскость.
Отметим, что любая простая функция Морса на двумерной поверхности, ориентируемой или неориентируемой, может быть реализована в виде функции высоты при некотором погружении этой поверхности в Ж3.
2.5.4. Классификация минимальных простых функций Морса на поверхностях малого рода
Используя простые молекулы, можно дать классификацию простых функций Морса на замкнутых ориентируемых поверхностях малого рода с точностью до послойной эквивалентности. В классе простых функций Морса естественно выделяется подкласс простых минимальных функций Морса, то есть таких, у которых число критических точек минимально (для данной поверхности). Хорошо известно, что если функция Морса минимальна, то у нее есть ровно один минимум, ровно один максимум, а число седел равно 2g, где g— это род поверхности (число ручек). Например, на сфере минимальная функция Морса ровно одна (с точностью до послойной эквивалентности). Это — функция высоты при стандартном вложении сферы в R3.
Чтобы получить указанную классификацию на поверхности рода g, достаточно перечислить простые молекулы, содержащие ровно два атома А (отвечающих одному минимуму и одному максимуму) и 2g атомов В (отвечающих 2g седлам).
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
81
Теорема 2.5. Число классов послойно неэквивалентных простых функций Морса на замкнутой ориентированной поверхности рода g равно:
1 для сферы (т. е. g= 0),
1 для тора (т. е. g= 1Л 3 для кренделя (т. е. g=V,
16 для сферы с тремя ручками (т. е. g=V-
Все соответствующие этим классам простые молекулы представлены на рис. 2.22 (а, Ъ).
