Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Возникает интересная задача: дать классификацию функций Морса на поверхностях с точностью до послойной эквивалентности. Эту задачу мы решим ниже. Но сначала нужно изучить послойную эквивалентность функций Морса в окрестности их критических значений.
Неформальное определение. Атом — это топологический тип особенности функции Морса. Другими словами, атом — это топологический тип связной компоненты окрестности особого слоя функции Морса на поверхности.
Каждая функция Морса определяет слоение с особенностями на поверхности. Его слоями, по определению, считаются компоненты связности уровня функции. В окрестности каждого регулярного слоя это слоение тривиально — прямое произведение окружности на отрезок. В окрестности критического слоя слоение может быть устроено довольно сложно.
Определение 2.4. Атомом назовем окрестность Р2 критического слоя, задаваемую неравенством с — s^f^c + s для достаточно малого е, расслоенную на линии уровня функции / и рассматриваемую с точностью до послойной эквивалентности. Другими словами, атом — это росток слоения на особом слое. Если критическое значение с — локальный минимум или локальный максимум, то атом будет называться атомом А. Если критическое значение с — седловое, то соответствующий атом будем называть седловым. Атом будет называть простым, если функция Морса / в паре (Р2,/) — простая. Остальные атомы будут называться сложными. Атом будет называться ориентируемым (ориентированным) или неориентируемым в зависимости от того, является ли поверхность Р2 ориентируемой (ориентированной) или неориентируемой.
Замечание. Здесь мы не интересуемся ориентацией поверхности и направлением роста функции /.
Замечание. Обратим здесь внимание читателя, знакомого с предыдущими публикациями на эту тему, что в некоторых из них понятие ориентируемости и неориентируемости атома имело несколько иной смысл и указывало на ориентируемость или неориентируемость сепаратрисных диаграмм гамильтонова поля для критических седловых окружностей.
Для дальнейшего полезно ввести важное понятие /-атома, или оснащенного атома, учитывающее направление роста функции /.
Пусть с — критическое значение функции / на X2 и с' — критическое значение функции g на Y2. Рассмотрим их особые слои:
Г1 (с) и g-V) и предположим, что эти слои — связны.
Определение 2.5. Функции Морса fug называются послойно оснащенно эквивалентными в окрестности своих особых слоев /-1(с) и g--1(c'), если существуют
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
71
два положительных числа е и е' и диффеоморфизм
Л: /_1(с - е, с + е) -у g_1(c' - е', с' + е'),
переводящий линии уровня функции / в линии уровня функции g и сохраняющий направление роста функций, т. е. Л отображает область (/ > с) в область (g > с').
Обозначим поверхность с краем /_1(с — е, с+ е) через Р2. Индекс с будем часто опускать.
Определение 2.6. Рассмотрим пару (Р2, /), где Р2 — связная компактная поверхность с непустым краем дР2, а / — функция Морса на ней, имеющая ровно одно критическое значение с, причем /" -1(c-?)U/-1(c + ?) = ЗР2.
Класс оснащенной послойной эквивалентности этой пары (Р2, /) будет называться /-атомом, или оснащенным атомом.
Важное замечание. Каждому атому соответствуют два /-атома. Они получаются друг из друга заменой знака функции на атоме. Иногда эти два атома могут оказаться совпадающими, эквивалентными.
2.4. Пр остые атомы
Как устроены линии уровня простой функции Морса, заданной на двумерной поверхности X2?
Если а — регулярное значение функции, то соответствующая линия уровня состоит из нескольких непересекающихся гладких окружностей (рис. 2.4). Эти окружности как-то перестраиваются при переходе через особый уровень функции. Опишем эти перестройки. Рассмотрим сначала ориентируемую поверхность.
2.4.1. Случай минимума и максимума. Атом А
Рассмотрим неособую линию уровня, близкую к точке минимума или максимума функции. Эта линия гомеоморфна окружности. Когда регулярное значение стремится к локальному минимуму или максимуму, окружность стягивается в точку (рис. 2.4). При этом двумерный диск расслаивается на концентрические окружности с общим центром, отвечающим точке локального минимума или максимума. Изобразим эту эволюцию линий уровня и перестройку следующим условным, но весьма наглядным образом. Каждую неособую линию уровня, окружность изобразим точкой, расположенной на уровне а (рис. 2.4). При изменении а, эта точка будет меняться и заметать отрезок. В момент, когда значение функции станет критическим, равным с, окружность сожмется в точку. Изобразим это событие буквой А с выходящим из нее отрезком.
Совершенно аналогично поступим в случае минимума (рис. 2.4). Здесь отрезок спускается сверху и кончается внизу буквой А.
72
Глава 2
Будем также считать, что буква А обозначает диск с точкой в центре, расслоенный на концентрические окружности. Мы получили пример простого атома А.
Атому А отвечают два /-атома. Один из них соответствует максимуму функции /, другой — минимуму функции /. Условно будем различать их, ставя стрелку на ребре, показывающую направление роста функции (рис. 2.4). Эти /-атомы различны.
