Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
В действительности, в окрестности невырожденной особой точки справедливо более сильное утверждение: не только квадратичные части, но и сами функции Ни/ можно одновременно привести к некоторому каноническому виду путем выбора подходящих канонических координат. Более точно, имеет место следующее важное утверждение.
Теорема 1.5. Пусть многообразие МА, симплектическая структура и) и функции Н и / являются вещественно-аналитическими. Тогда в окрестности невырожденной особой точки х G Ко всегда существуют канонические координаты (pi, qi, р2, q2), в которых функции Н и / одновременно приводятся к одному из следующих видов:
1) случай центр-центр:
H = H(p2 + q2,p2 + ql),
f = f(pl + qI, v\ + ql),
2) случай центр-седло:
H = H(piqi, p\ + ql),
f = f(piqi, v\ + ql),
3) случай седло-седло:
H = H(piqi, p2q2), f = fipiQi, М2),
54
Глава 1
4) случай фокус-фокус:
f = f(PlQl +P2Q2, PiQ2 -P20i).
Замечание. Теоремы 1.3, 1.4, 1.5 имеют естественные многомерные обобщения, обсуждению и доказательству которых посвящено приложение 3, написанное В. В. Калашниковым (мл.) (см. также теоремы 1.6 и 1.7 ниже). Теорема 1.3 (и ее многомерный вариант — теорема 1.6) принадлежит Вильямсону [391], [392], теорема 1.5 была доказана Рюссманом [364], а затем обобщена на многомерный случай в работах Вея [384] и Ито [315].
1.10.3. Определение невырожденной особенности в случае многих степеней свободы
Здесь мы дадим определение невырожденной особой точки ранга г отображения момента Т в многомерном случае.
Пусть Д, ... , fn — гладкие функции в инволюции на М2п и
Т-. М2" -> R", Т(х) = (Л(х), ... , /„(ж))
— соответствующее отображение момента. Пусть К = Ко + К\ + ... + Кп-1 — множество его критических точек. Здесь Ki — множество точек х ? К, в которых ранг djr{x) равен i (мы будем называть их точками ранга г).
Для любой точки ж ? всегда можно подобрать такую невырожденную линейную замену функций Д, ... , /п, что новые функции, которые мы обозначим через gi, ... , gn, будут обладать следующими свойствами:
1) первые п — i функций gi, ... , gn-i в точке х имеют особенность, т.е. dgi(x) = ... = dgn-i(x) = О,
2) градиенты остальных функций gn-i+1, ••• , gn линейно независимы в точке х.
Поскольку dgi(x) = ... = dgn-i(x) = 0, то соответствующие гамильтоновы векторные поля sgradgi, ... , sgradgn_j обращаются в ноль в точке х. Потому их линейные части Ai, ... , An_i можно рассмотреть как линейные операторы из алгебры Ли симплектической группы Sp(2n, М), действующие в касательном пространстве ТХМ к М. Операторы Ai, ... , An_i попарно коммутируют, т.к. коммутируют соответствующие им поля sgrad gi, ... , sgrad gn-i-
Рассмотрим теперь г-мерное линейное подпространство L в ТХМ, порожденное векторами sgradgn-i+\, ... , sgradgn. Отметим, что L — это касательное пространство к орбите пуассонова действия, проходящей через точку х.
Пусть L' — косоортогональное дополнение (в смысле симплектической формы D) к подпространству L в ТХМ. Оно содержит L, поскольку подпространство L изотропно (т. к. функции gn-i+1, • • • , gn находятся в инволюции).
Лемма 1.8. Подпространство L лежит в ядре всех операторов Ai, ... , Ап-{. Образы операторов Ai, ... , An_i содержатся в V.
Основные понятия
55
Доказательство.
Напомним, что если Av — линеаризация векторного поля v в его особой точке х, а ? — произвольное векторное поле, то имеет место формула:
Av (0 = [?, V].
В нашем случае имеем: Aj(sgradgk) = [sgradgk, sgradgj] = 0, так как все функции gs находятся попарно в инволюции (т.е. соответствующие им поля sgradgs коммутируют).
Следовательно, L лежит в ядре всех Ai, ... , An-i.
Докажем второе утверждение леммы. Из свойств симплектической формы Q и оператора А ? sp(2n, Ж) следует, что для любых двух векторов ?, г] выполнено тождество (предложение 1.3):
П(А(, п) = -П«, Ап).
Следовательно, Im А содержится в косоортогональном дополнении к ker А. Лемма доказана. ¦
Отсюда следует, что можно определить естественное действие операторов А\, ... , An-i на фактор-пространстве L'/L. Мы обозначим их теми же буквами.
Лемма 1.9. На пространстве L'/L имеется естественная симплектическая структура f), а действующие в L'/L операторы А\, ... , An-i являются элементами алгебры Ли симплектической группы Sp(2(n — г), М).
Доказательство.
Ясно, что L — это ядро ограничения формы Q на L'. Поэтому на фактор-пространстве L'/L корректно определена невырожденная кососимметрическая форма Q
a((L, ф) = щ, ч).
Для каждого оператора As нам нужно проверить выполнение следующего тождества
