Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 19

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 193 >> Следующая


Если п = 2 (т.е. если рассматриваемая система имеет две степени свободы), то Е обычно состоит из отрезков гладких кривых на плоскости и, возможно, отдельных изолированных точек. Камеры здесь — двумерные открытые области на плоскости.

1.9. Простой пример интегрируемой механической системы

Рассмотрим два плоских маятника с длинами 1\ и 12 в поле силы тяжести с ускорением g. Их движение описывается гамильтоновой системой на кокаса-тельном расслоении к двумерному тору. Гамильтониан имеет вид

о- р\ + р\ 2 2

Н = -----из\ cos qi — <^2 cos q2,

где qi и q2 — углы отклонения маятников от

сг

вертикали (рис. 1.6), a to2 = у-, где g— уско-

н

рение силы тяжести, а — длины маятников. Здесь маятники колеблются независимо друг от друга.

Эта система вполне интегрируема. Интегралами движения являются две функции

, Р\ 2 , Р\ 2

/1 = у - 0J1 cos и f2 = — - COS q2.

Впрочем, в качестве интегралов можно было бы взять гамильтониан Н и, например, Д (или /2). Очевидно, что интегралы Д и /2 независимы и находятся в инволюции (так как переменные здесь разделяются).

Построим бифуркационную диаграмму отображения момента. Имеем:

Рис. 1.6

dfi = (Pi, sin дь 0, 0), df2 = (0, 0, р2, из\ sinq2).
Основные понятия

41

Множество К критических точек состоит из 4-х кусков:

Ki = {pi = 0, qi = 0},

К2 = {pi = 0, gi = тг},

Кг = [Р‘2 = 0, q2 = 0},

1<\ = {р2 = 0, q2 = 7г}.

Их образ при отображении момента Т, т.е. множество ?, состоит из четырех лучей

= {/i = -w?, h > -«tb %) = ih = «?, /2 5» -w22}.

Жз) = {Л ^ -Ы?, /2 = -шЦ,

^О*^) = {Л ^ _ш1> h = “!}•

Рис. 1.7

См. рис. 1.7. Бифуркационная диаграмма разбивает образ отображения момента на 4 камеры (рис. 1.7). Можно убедиться, что над точками камеры, отмеченной на рис. 1.7 цифрой I, висит ровно один тор Лиувилля, над точками камер II и III — по два тора Лиувилля и, наконец, над точками камеры IV — четыре тора Лиувилля.

Здесь S оказалась достаточно простой: четыре луча. В других физических системах, которые нам встретятся, диаграмма S обычно будет устроена сложнее.

Отметим любопытный экспериментальный факт (формально не связанный с темой настоящей главы).

Как обнаружил X. Гюйгенс, если на стене, рядом друг с другом повесить двое одинаковых маятниковых часов (т.е. с равными и 12), то через некоторое время их маятники будут качаться либо в одинаковой фазе, либо в противофазе (рис. 1.8). Дело в том, что колебания маятников влияют друг на друга через стену.

Это означает, что с течением времени происходит перераспределение энергии между маятниками так, что в результате энергии уравниваются. В терминах торов Лиувилля это означает, что система оказывается на 2-торе, задаваемом уравнением fi=f2= const. Это — резонансный тор с числом вращения равным 1. На этом торе Лиувилля система выберет ровно одну замкнутую траекторию из бесконечного числа других, а именно, траекторию 7, показанную на рис. 1.9, в случае

колебаний с равной фазой и траекторию т — в случае противофазы.

Приведем еще один пример.

Допустим, что система v имеет такие независимые коммутирующие интегралы /1, ... , fn, что интегральные траектории отвечающих им векторных полей sgrad/1, ... , sgrad fn замкнуты с одним и тем же периодом 2ж. Это означает, что пуассоново действие абелевой группы фактически сводится к действию тора

Рис. 1.8
42

Глава 1

Тп на М2п. В этом случае образ отображения момента — выпуклый многогранник в !п, а бифуркационная диаграмма — его граница (см. [235], [236]).

г/г

1.10. Невырожденные точки отображения момента

Мы хотим подчеркнуть здесь одну важную мысль. Ниже мы будем много заниматься типичными особенностями отображения момента интегрируемой системы. Оказывается, эти особенности, несмотря на всю их сложность, в принципе допускают разумное и достаточно наглядное описание. В то же время, с точки зрения общей теории особенностей произвольных гладких отображений М2п в Ж.п, особенности отображения момента не являются ни типичными, ни устойчивыми. Дело в том, что в случае общего положения размерность множества критических точек гладкого отображения М2п в Шп равна п — 1, а множество типичные особенности отображения момента имеет размерность в два раза большую, а именно 2п — 2. Объясняется это тем, что здесь пуассоново действует абелева группа Ж.п, которая «размазывает» особые точки отображения момента (если какая-то точка оказалась критической, то и все точки, получающиеся из нее действием группы, также будут критическими). Поэтому типичность особенностей отображения момента следует понимать не в абстрактном, широком смысле, а лишь в классе отображений, порожденных пуассоновыми действиями абелевой группы Шп. При этом задача классификации таких особенностей не становится проще или сложнее. Она становится просто другой.
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed