Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Если п = 2 (т.е. если рассматриваемая система имеет две степени свободы), то Е обычно состоит из отрезков гладких кривых на плоскости и, возможно, отдельных изолированных точек. Камеры здесь — двумерные открытые области на плоскости.
1.9. Простой пример интегрируемой механической системы
Рассмотрим два плоских маятника с длинами 1\ и 12 в поле силы тяжести с ускорением g. Их движение описывается гамильтоновой системой на кокаса-тельном расслоении к двумерному тору. Гамильтониан имеет вид
о- р\ + р\ 2 2
Н = -----из\ cos qi — <^2 cos q2,
где qi и q2 — углы отклонения маятников от
сг
вертикали (рис. 1.6), a to2 = у-, где g— уско-
н
рение силы тяжести, а — длины маятников. Здесь маятники колеблются независимо друг от друга.
Эта система вполне интегрируема. Интегралами движения являются две функции
, Р\ 2 , Р\ 2
/1 = у - 0J1 cos и f2 = — - COS q2.
Впрочем, в качестве интегралов можно было бы взять гамильтониан Н и, например, Д (или /2). Очевидно, что интегралы Д и /2 независимы и находятся в инволюции (так как переменные здесь разделяются).
Построим бифуркационную диаграмму отображения момента. Имеем:
Рис. 1.6
dfi = (Pi, sin дь 0, 0), df2 = (0, 0, р2, из\ sinq2).
Основные понятия
41
Множество К критических точек состоит из 4-х кусков:
Ki = {pi = 0, qi = 0},
К2 = {pi = 0, gi = тг},
Кг = [Р‘2 = 0, q2 = 0},
1<\ = {р2 = 0, q2 = 7г}.
Их образ при отображении момента Т, т.е. множество ?, состоит из четырех лучей
= {/i = -w?, h > -«tb %) = ih = «?, /2 5» -w22}.
Жз) = {Л ^ -Ы?, /2 = -шЦ,
^О*^) = {Л ^ _ш1> h = “!}•
Рис. 1.7
См. рис. 1.7. Бифуркационная диаграмма разбивает образ отображения момента на 4 камеры (рис. 1.7). Можно убедиться, что над точками камеры, отмеченной на рис. 1.7 цифрой I, висит ровно один тор Лиувилля, над точками камер II и III — по два тора Лиувилля и, наконец, над точками камеры IV — четыре тора Лиувилля.
Здесь S оказалась достаточно простой: четыре луча. В других физических системах, которые нам встретятся, диаграмма S обычно будет устроена сложнее.
Отметим любопытный экспериментальный факт (формально не связанный с темой настоящей главы).
Как обнаружил X. Гюйгенс, если на стене, рядом друг с другом повесить двое одинаковых маятниковых часов (т.е. с равными и 12), то через некоторое время их маятники будут качаться либо в одинаковой фазе, либо в противофазе (рис. 1.8). Дело в том, что колебания маятников влияют друг на друга через стену.
Это означает, что с течением времени происходит перераспределение энергии между маятниками так, что в результате энергии уравниваются. В терминах торов Лиувилля это означает, что система оказывается на 2-торе, задаваемом уравнением fi=f2= const. Это — резонансный тор с числом вращения равным 1. На этом торе Лиувилля система выберет ровно одну замкнутую траекторию из бесконечного числа других, а именно, траекторию 7, показанную на рис. 1.9, в случае
колебаний с равной фазой и траекторию т — в случае противофазы.
Приведем еще один пример.
Допустим, что система v имеет такие независимые коммутирующие интегралы /1, ... , fn, что интегральные траектории отвечающих им векторных полей sgrad/1, ... , sgrad fn замкнуты с одним и тем же периодом 2ж. Это означает, что пуассоново действие абелевой группы фактически сводится к действию тора
Рис. 1.8
42
Глава 1
Тп на М2п. В этом случае образ отображения момента — выпуклый многогранник в !п, а бифуркационная диаграмма — его граница (см. [235], [236]).
г/г
1.10. Невырожденные точки отображения момента
Мы хотим подчеркнуть здесь одну важную мысль. Ниже мы будем много заниматься типичными особенностями отображения момента интегрируемой системы. Оказывается, эти особенности, несмотря на всю их сложность, в принципе допускают разумное и достаточно наглядное описание. В то же время, с точки зрения общей теории особенностей произвольных гладких отображений М2п в Ж.п, особенности отображения момента не являются ни типичными, ни устойчивыми. Дело в том, что в случае общего положения размерность множества критических точек гладкого отображения М2п в Шп равна п — 1, а множество типичные особенности отображения момента имеет размерность в два раза большую, а именно 2п — 2. Объясняется это тем, что здесь пуассоново действует абелева группа Ж.п, которая «размазывает» особые точки отображения момента (если какая-то точка оказалась критической, то и все точки, получающиеся из нее действием группы, также будут критическими). Поэтому типичность особенностей отображения момента следует понимать не в абстрактном, широком смысле, а лишь в классе отображений, порожденных пуассоновыми действиями абелевой группы Шп. При этом задача классификации таких особенностей не становится проще или сложнее. Она становится просто другой.