Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
1.10.2. Интегралы Ботта с точки зрения четырехмерного
Рассмотрим теперь критические точки отображения момента Т не на Q, а с точки зрения объемлющего 4-многообразия М. Замкнутое множество К всех критических точек можно стратифицировать рангом отображения момента, т. е. представить его в виде объединения
где К\ = {х | ранг dJ:{x) = 1}, К0 = {х \ ранг dF(x) = 0}.
Предложение 1.17. Множество К\ является объединением всех одномерных орбит пуассонова действия группы М2 на М4. Множество Ко состоит из всех неподвижных точек этого действия.
1 sCjsCfc
симплектического многообразия
к = к1+к0,
Основные понятия
47
Доказательство.
Это утверждение справедливо для произвольного числа степеней свободы. Действительно, размерность любой орбиты группы Мп равна рангу системы векторов {sgrad fi}. Этот ранг, в свою очередь, равен рангу системы {dfi}. Предложение доказано. ¦
Зададимся вопросом: какие точки из Кi и К0 естественно считать невырожденными. Начнем с обсуждения К±.
Рассмотрим точку х из М4 такую, что ранг dF(x) = 1. Орбита этой точки одномерна и диффеоморфна либо прямой, либо окружности.
Предположим, для определенности, что dH(x) ф 0. Тогда в силу теоремы Дарбу в окрестности точки х существует каноническая система координат (pi, <7i, р2, q2) такая, что Н = рг. Поскольку функции / и Н коммутируют, то функция / не зависит от qi, т.е. / = f(pi, р2, q2)-
Поскольку х Е К1 — критическая точка Т, то
df = df др2(х) dq2(x)
Определение 1.21. Точка х из Кг будет называться невырожденной для отображения момента Т, если матрица
а2/ а2/ \
dpi dp-tdq-2
\0p2dq2 Dqi /
невырождена в точке х.
Обозначим множество всех таких точек через К{.
Определение корректно, то есть не зависит от выбора локальной канонической системы координат. Это вытекает из того, что указанная матрица в точности совпадает с гессианом функции /, ограниченной на двумерную трансверсаль к одномерной орбите в Q = {рг = const}, целиком состоящей из критических точек функции /.
Другими словами, функция / является функцией Ботта на трехмерном уровне Н = const (локально в окрестности рассматриваемой точки х). В частности, сформулированное выше условие невырожденности запрещает существование критических торов и бутылок Клейна на уровне Н = const.
Предыдущее определение невырожденности было сформулировано в терминах локальных координат. Можно дать и эквивалентное ему инвариантное определение, т.е. не использующее координат. Оно будет полезно для конкретной проверки условия невырожденности, поскольку поиск канонической системы координат, использованной выше, обычно затруднен.
Пусть в точке х ранг d!F(x) равен единице. Тогда в этой точке дифференциалы df и dH зависимы, т.е. существуют числа А и ц такие, что
A df(x) + ji dH(х) = 0.
48
Глава 1
Здесь Ли ji определены однозначно с точностью до пропорциональности. Пусть L — касательная прямая к одномерной орбите действия Ж2. Она является одномерным подпространством (в касательном пространстве к М4), порожденным линейно зависимыми векторами sgrad/, sgradН. Пусть L' — трехмерное подпространство, ортогональное к L в смысле симплектической формы. Определение 1.22. Точка х будет называться невырожденной точкой отображения момента Т, если ранг симметричной 2-формы
Xd2 f(x) + fid2 Н (х)
на подпространстве L' равен 2.
Эта 2-форма корректно определена, поскольку Xdf(x) + jidH{x) = 0. Отметим, что ранг Xd2f(x) + jid2H{x) не может равняться 3 на L', так как одномерное подпространство L С L' лежит в ядре этой 2-формы. Докажем это. Пусть, для определенности, оно натянуто на v = sgrad/ (напомним, что sgrad/(x) и sgrad-ff(x) зависимы). Подсчитаем значение 2-формы на паре векторов ои(, где вектор ? произволен. Получим:
(\d2f + )id?H)(v, €) = «(sgrad/(А/+ дЯ)) = Щ/, А/ + /.Я}) = 0,
так как / и Н коммутируют.
Определения 1.21 и 1.22 эквивалентны. Перепишем определение 1.22 в специальной системе координат Дарбу (pi? qi, р2, q2) из определения 1.21. Тогда од-
$
номерное подпространство L порождается вектором ——, а 3-подпространство L'
oqi
порождается векторами Поскольку функция / от переменной q1
не зависит, а Н =pi, то матрица 2-формы Xd2f(x) + fid2H(x) имеет вид
/о 0 ° \
0 d2f d2f
др22 dp2dq2
d2f d2f
dp2dq2 dqi /
Таким образом, в локальных координатах условия из определений 1.21 и 1.22 совпадают.
Как устроено с топологической точки зрения подмножество невырожденных точек отображения момента в критическом множестве Предложение 1.18.
а) Множество К{ является двумерным гладким симплектическим подмногообразием в М4.
