Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть М — ориентируемое гладкое многообразие и / — гладкая функция на нем. Пусть Nn~k — связное гладкое компактное подмногообразие в Мп с тривиальным нормальным расслоением. Предположим, что N — невырожденное критическое подмногообразие для функции /, то есть df(x) = 0 для любой точки х G N, и в каждой такой точке 2-форма d2 / является невырожденной на трансверсальном подпространстве к N. Пусть индекс формы d2 / равен А. Легко видеть, что в этих предположениях А не зависит от выбора точки х на N.
Рассмотрим далее в нормальном расслоении E{N) к N два подрасслоения Е- и Е+, ортогональные относительно формы d2f функции / и такие, что гессиан d2 / отрицательно определен на подрасслоении Е- и положительно определен на Е+. Эти подрасслоения могут быть построены следующим образом. Пусть в окрестности подмногообразия N задана какая-либо риманова метрика. В каждой
Основные понятия
45
точке х € N форму d2/ можно теперь привести к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе. Хотя этот базис определен, вообще говоря, неоднозначно, однако однозначно определены две плоскости (в плоскости, нормальной к подмногообразию) Е+(х) и Е-(х), натянутые на векторы ортонорми-рованного базиса, отвечающие положительным и отрицательным собственным значениям гессиана d2/. Ясно, что топологический тип подрасслоений Е+ и Е_ не зависит от выбора римановой метрики в окрестности N. Отметим, что размерность Е_(х) равна А.
Предложение 1.16 (Обобщенная лемма Морса-Ботта). Предположим, что оба подрасслоения Е+ и Е- тривиальны. Тогда в некоторой окрестности U(N) подмногообразия N всегда существуют такие гладкие независимые всюду на U(N) функции xi, ... , xk такие, что xi\n = 0 при всех г = 1, 2, ... , к и
i 2 2,2, , 2
/ = с-ж1-...-жА + жА+1 + ... + хк,
где с = f\N.
Доказательство.
Рассмотрим в слоях Е+(х) и Е-(х) расслоений Е+ и Е- ортонормированные (относительно формы gP/) базисы е\{х), ... , е\{х) и ел+1(ж), ••• , ек(х), гладко зависящие от точки х из N. Такие базисы существуют, поскольку оба расслоения Е+ и Е_ тривиальны. Ясно, что координаты у±, ... , у\, ул+ъ • • • ? У к (относительно выбранного нами ортонормированного базиса) в нормальном расслоении можно рассмотреть как гладкие независимые функции в некоторой окрестности подмногообразия N. Локально эту окрестность можно отождествить с окрестностью нулевого сечения нормального расслоения. Эту систему функций (координат) у!, ... , ух, yx+i, ... , Ук можно дополнить функциями ук+1, ... ,уп до локальной системы координат, определенной в окрестности данной точки из N. При этом функции у\, ... , у\, у\+1, ... , ук определены сразу на всей окрестности U(N), а функции yk+i, ¦ ¦ ¦ , Уп — лишь в некоторой окрестности данной точки на подмногообразии N. Без ограничения общности можно считать, что функции ук+1, • • • 1 Уп являются локальными координатами на N и постоянны на слоях расслоения E(N). Для дальнейшего удобно задать положение точки у следующим набором: (у\, ... ,ук, а), где а обозначает точку на подмногообразии N, являющемся базой нормального расслоения E(N). Тогда квадратичная форма d2f в точках подмногообразия N принимает следующий вид:
d2f = -dy\ - ... - dy\ + dy2x+1 + ... + dy2k.
После этого мы можем фактически дословно повторить доказательство обычной (классической) леммы Морса применительно к функции f(yi, ... , ук, а), рассматривая при этом а как некоторый многомерный параметр. Следуя стандартному доказательству леммы Морса [129], представим функцию /(у) в виде
f(yi, ••• , Ук, а) = ^2 УгУз^зЫ, ••• 5 Ук, « + с).
1^г, j^k
46
Глава 1
Здесь
1 1
J J иУгиУз о о
При этом
Рассмотрим далее выражение X)i<Ci, j^k ViVjhij(yi, • • • , Ук, а) как квадратичную форму с коэффициентами hij(yi, ... , ук, а) и стандартными заменами координат приведем ее к нормальной форме.
Важно, что эта процедура может быть выполнена одновременно при всех а. В результате квадратичная форма XlisCi, j^k У*У^*ЛУъ • • • , Ук, о) приведется к диагональному виду — х\ —... — х\+х\+1 +.. -+х\, где новые функции х\, ... , хк связаны с предыдущими переменными yi, ... , ук, а следующими «линейными формулами»:
При этом матрица (aij(y, а)) является верхнетреугольной с положительными элементами на диагонали. Она существует, определена однозначно и гладко зависит от у, а. Фактически доказательство закончено. Однако, в заключение поясним, где же была использована тривиальность расслоений E-(N) и E+(N). Отметим, что не любая квадратичная форма от у с коэффициентами, зависящими от параметра а, может быть приведена к диагональному виду одновременно при всех значениях а при помощи преобразования, гладко зависящего от а. Но в нашем случае при у = 0 для любого а требуемая замена существует, поскольку при у = 0 форма ^2 hijyiyj уже имеет канонический вид. Другими словами, a,ij(0, а) = 6{j. Но в таком случае в малой окрестности нуля (по переменным г/i, ... , у к) искомая матрица (ctij(y, а)) также существует, а потому однозначно определена и гладко зависит от у, а. Предложение доказано. ¦
