Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
1.10.1. Случай двух степеней свободы
Рассмотрим гамильтонову систему v = sgrad# на четырехмерном симплектическом многообразии М4.
Определение 1.19. Изоэнергетической поверхностью называется множество точек, задаваемое уравнением Н{х) = const.
Если Н(х) = h, то соответствующую изоэнергетическую поверхность обозначим через Qh. Она всегда является инвариантной поверхностью относительно поля V.
Рис. 1.9
Основные понятия
43
Рассмотрим трехмерную изоэнергетическую поверхность Q3. Мы будем в дальнейшем предполагать ее гладким компактным подмногообразием в М4. В частности, мы будем рассматривать лишь такие 3-поверхности, на которых dH ф 0.
В случае двух степеней свободы для интегрируемости системы v достаточно иметь лишь один дополнительный интеграл /, функционально независимый с интегралом энергии Н. Этот интеграл /, ограниченный на Q3, является гладкой функцией, у которой всегда есть какие-то критические точки (ввиду компактности Q). Ясно, что критические точки функции / на Q совпадают с критическими точками отображения момента Т = (Н, /), попавшими в Q. Поэтому особенности отображения момента естественно изучать в терминах ограничения функции / на Q. Это ограничение будем по-прежнему обозначать той же буквой /.
Лемма 1.7. Интеграл / не может иметь изолированных критических точек на Q.
Доказательство.
Согласно нашему предположению dH\Q ф 0. Отсюда вытекает, что векторное поле v = sgrad# отлично от нуля в каждой точке Q. Рассмотрим интегральную траекторию у векторного поля v, проходящую через критическую точку х интеграла /. Гамильтонов поток v сохраняет функцию / и, в частности, переводит критические точки в критические. Поэтому траектория у целиком состоит из критических точек. Лемма доказана. ¦
Итак, интеграл / никогда не может быть функцией Морса на неособой изоэнергетической 3-поверхности. К какому же классу он в действительности принадлежит? Оказывается, в реальных задачах физики и механики типична ситуация, описанная в следующем определении.
Определение 1.20. Функция / называется функцией Ботта на многообразии Q, если все ее критические точки организованы в невырожденные критические подмногообразия.
Это означает, что множество критических точек является несвязным объединением некоторых гладких подмногообразий, причем каждое из них невырождено в следующем смысле. Второй дифференциал cPf невырожден на подпространстве, трансверсальном к подмногообразию (в каждой его точке).
Другими словами, ограничение функции / на трансверсаль к подмногообразию является функцией Морса.
Появление таких функций в теории интегрируемых систем очень естественно. Грубо говоря, они играют здесь такую же роль, как функции Морса в обычной теории функций на многообразиях, то есть являются максимально невырожденными с точки зрения пуассоновых действий.
Ниже, в нашей книге, мы еще вернемся к вопросу о том, в каком смысле устойчивы и типичны функции Ботта в классе гладких интегралов гамильтоновых систем. См. приложение 2 и [72], [73], [138].
44
Глава 1
Рассмотрим интегрируемую систему v, и пусть ее интеграл / является функцией Ботта на какой-то изоэнергетической регулярной компактной 3-поверхности Q.
Предложение 1.15. Связные критические подмногообразия интеграла f на Q диффеоморфны либо окружности, либо тору, либо бутылке Клейна.
Доказательство.
Поскольку Q трехмерно, то критические подмногообразия функции / могут быть либо одномерны, либо двумерны. В одномерном случае каждая связная компонента такого подмногообразия является окружностью в силу компактности. В двумерном случае на нем есть гладкое векторное поле v = sgrad#, не обращающееся в ноль (т.к. мы предположили, что dH ф 0 на Q). На двумерных многообразиях такое поле может существовать лишь на торе и на бутылке Клейна (только у них эйлерова характеристика равна нулю). Предложение доказано.
¦
Таким образом, критические подмногообразия устроены довольно просто. В нашей книге (в случае двух степеней свободы) мы будем рассматривать, главным образом, такие интегрируемые системы, у которых на интересующей нас 3-поверхности Q нет критических торов и бутылок Клейна. Другими словами, обычно мы будем изучать системы, критическими подмногообразиями которых будут только окружности.
Такой подход мотивируется двумя причинами.
Причина 1. В реальных задачах физики и механики чаще всего встречаются именно такие системы.
Причина 2. Можно доказать (см. [72], [73]), что малым шевелением интегрируемой системы с интегралом Ботта можно всегда превратить ее в интегрируемую систему указанного типа, т. е. превратить критические торы и бутылки Клейна в набор невырожденных критических окружностей. Более того, такое возмущение можно сделать внутри класса интегрируемых систем с интегралами типа Ботта.
Ниже нам понадобится аналог леммы Морса для случая функций Ботта. Мы сформулируем и докажем эту лемму Морса-Ботта для случая произвольной размерности.
