Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
2-формой ш (обозначим ее матрицу через S1). Коммутатор в этой алгебре — это обычная скобка Пуассона полиномов (рассматриваемых как функции).
Комментарий. Поясним связь этой модели с конструкцией предыдущего параграфа. Рассмотрим однородный квадратичный полином / и соответствующее ему векторное поле sgrad/. Оно имеет особую точку в нуле, и мы можем поэтому рассмотреть его линеаризацию Af как некоторый симплектический оператор. Легко проверяется, что отображение / —>¦ Af является изоморфизмом алгебры квадратичных полиномов на алгебру sp(2m, Ж).
Теорема 1.6 (J. Williamson). Пусть К С sp(2m, Ж) — подалгебра Картана. Тогда существует симплектическая система координат xi, ... , хт, yi, ... , ут в Ж2т и базис ei, ... , ет в К такие, что каждый из квадратичных полиномов ег-имеет один из следующих видов:
1) ег- = ж2 + у2 (эллиптический тип),
58
Глава 1
2) ei = хiyi (гиперболический тип),
3) ei = Xiyi+1 - xi+1yi, ei+1 = Xiyi + xi+1yi+1 (тип фокус-фокус).
Из этой теоремы видно, что тип картановской подалгебры К полностью определяется набором трех целых чисел (mi, m2, m3), где mi + m2 + 2тз = т, и mi — это число элементов базиса эллиптического типа, т2 — гиперболического типа, а m-з — число пар элементов е*, e*+i базиса, имеющих тип фокус-фокус.
Комментарий. Тип (mi, m2, m3) картановской подалгебры if в sp(2m, Ж) можно описать несколько по-другому. Рассмотрим регулярный элемент в картановской подалгебре К. Его можно представить как квадратичный полином /, который задается некоторой симметричной матрицей. Обозначим ее снова через /. Рассмотрим ее характеристическое уравнение относительно формы ш:
det(/ — fiSl) = 0.
Это уравнение имеет какой-то набор корней. Корни разбиваются на три группы:
1) пары сопряженных чисто мнимых корней ia, —ia,
2) пары вещественных корней /3, —(3,
3) четверки комплексно сопряженных корней а + ij3, а — ij3, —а + ij3, —а — i(3.
Количество элементов в каждой такой группе обозначим соответственно через mi, m2, m3. Это и есть те самые числа mi, т2, m3, которые появились при классификации картановских подалгебр.
Итак, с каждой невырожденной особенностью отображения момента Т связана некоторая картановская подалгебра, которая классифицируется некоторой тройкой целых чисел (mi, т2, m3). Поэтому совершенно естественно назвать эту тройку (mi, т2, m3) типом данной особенности.
Окончательно мы получаем, что невырожденная особенность отображения момента Т характеризуется четырьмя целыми числами:
(г = ранг особенности, (mi, т2, т3) = тип).
При этом mi + т2 + 2т$ + г = п, где п — число степеней свободы данной интегрируемой системы.
Наша ближайшая цель — описать структуру слоения Лиувилля в окрестности невырожденной особенности в многообразии М2п. Сначала определим некоторое модельное слоение Лиувилля в Ж2п. Для этого рассмотрим набор функций следующего вида:
Fj =P2j + <lh
Fk = PkQki
Fi = piqi+i - qipi+i, Fi+1 = piqi + pi+1qi+1,
Fs — Psi
Основные понятия
59
где j = 1, , mi; к = mi+l, ... , mi+m2; / = mi+m2+l, mi+m2+3, ... , mi +
+m2 + 2m3 — 1; s = mi + m2 + 2m3 + 1, ... , п. Ясно, что все эти функции (Fj, Fk, Fi, Fs) коммутируют друг с другом относительно скобки Пуассона, их п штук и они функционально независимы. Поэтому они определяют некоторое модельное (каноническое) лиувиллево слоение Ссап в окрестности точки 0, которая, очевидно, является невырожденной особой точкой отображения момента J’can'- ®2n fc&nix) = --• , Fn(x)). Легко видеть, что ранг этой
невырожденной особенности равен г, а тип — (mi, m2, m3).
Утверждение, формулируемое ниже является прямым следствием теоремы Рюссмана-Вея-Ито о приведении к каноническому виду (нормальной форме) коммутирующих функций в окрестности невырожденной особой точки. Эта теорема подробно обсуждается в приложении 3.
Теорема 1.7 (Теорема о локальной линеаризации слоения Лиувилля около невырожденной особенности). Пусть дана вещественно-ана-литическая интегрируемая система с п степенями свободы на вещественноаналитическом многообразии М2п. Тогда слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особой точки ранга г и типа (mi, m2, m3) всегда локально симплекто-морфно модельному слоению Лиувилля Ссап с теми же параметрами. В частности, любые два слоения Лиувилля с совпадающими параметрами (г, mi, m2, m3) локально симплектоморфны.
Теорема 1.7 может быть переформулирована несколько иначе. Пусть /1, ... , fn — произвольные коммутирующие функции. Рассмотрим их тейлоровские разложения в невырожденной особой точке отображения Т в некоторой канонической системе координат. Отбросим все члены этих разложений кроме линейных и квадратичных. Легко видеть, что полученные функции останутся коммутирующими и будут определять некоторое слоение Лиувилля Со, которое естественно считать линеаризацией исходного слоения С, задаваемого функциями /1, ... , fn. Теорема 1.7 утверждает, что локально слоение С симплектоморф-но своей линеаризации Со-
