Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
g (t) + 2ге = Т?г, (0 (g° 2л)
(которое в силу периодичности правой части уравнения (28.13) по отношению к угловой переменной g с периодом 2тс также является решением уравнения (28.13)) соответствует начальное значение §° + 2тс, то, сравнивая эти равенства, получаем:
¦TZt0(g° + 2*) = TZt0(g<>) + 2v,
т. е. при замене в Tf,to(g°) g° на g°-f-2х выражение ^(„(g0) получит приращение 2 тс.
Рассмотрим теперь некоторые функции F и F из класса C(D, Д). Положим:
gt — T;:,t0(g0), gt = Tz> to (g), z = t t0, (28.17)
где
g0=!g((*o). g = g( (*<>)¦
Тогда на основании (28.13) будем иметь:
= | Р (t, gt, F(t, gt), ш) — Р (t, gt,F (t, gt), e) | =
I dt
= 1 p V* gt, F(t, gt), z) - P (t, gt, F (t, gt), e) + P (t, gt, F (t, gt), s) — -P(t,gt,F{t, gt), s) |< X (a, D) || F (t, gt)—F (t, gt) f| + X (s, ?)J| gt — g,|-f
или, учитывая (28.12), окончательно получаем:
d (gt—gt)
dt
где обозначено:
< x (s, D) IIF it, gt) - F (t, gt) || X (s, D) (1 + Д) I g, - gt |, (28.18)
— SUP I / {t, g) |.
t* 9
Нетрудно показать, что имеет место следующее неравенство:
Tl <0 (g) - Tl to (g°) | = |g(-g(l<|g-g°]exp{X(e> 2))(1 + Д)|г|} + + JI^(Vgt)--j4i,.gt)ll, {ехр [X(в, 2)) (1 + Д) I z|] - 1}, (28.19)
где g и g° — начальные значения gt и gt.
Действительно, рассматривая наряду с неравенством (28.18) уравнение
= X (в, D) || F-F || + X (з, D) (1 + Д) и (28.20)
с начальным условием
и |f-fo = «0 = I — gt lt=to,
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИИ 359
решением которого будет
и = и0 exp {X (8, D) (1 + Д) I z |} + 11 11 {exp [X (в, D) (1 + Д)] | ъ | - 1},
(28.21)
убеждаемся в справедливости неравенства:
I gt ~ gt I < м< I Я ~ g° I exp {X (s, D) (1 + Д) | z |} -f
+ "¦ (exP Iх (®. -D)(l + A)]|z| — 1}.
После сделанных предварительных замечаний рассмотрим преобразование S, преобразующее функцию F из класса С (D, Д) в функцию
ОО
St,g(F)= \j(z)Q{t + z-,TZ,{gy,F[t + z-,TZt(g)]-*}dz. (28.22)
— CO
В силу вышеуказанного свойства периодичности «второго рода» функции Tzt to (g) по отношению к g:
Т?г, fo (g + 2тс) = Tz, 10 (g) + 2тг,
а также в силу периодичности функций F(t,g) и Q(t,g,h, s) по отношению к угловой переменной g с периодом 2тс, можем заключить, что St>q(F) также обладает периодом 2та по отношению к угловой переменной g.
Составим теперь оценки для фунйций:
I$1>д (F) I; I g(F) — St, gro (F) ]. (28.23)
Используя условия (28.12), которым удовлетворяет функция F(t,g), а также свойства в) и г) функции Q(t,g,h, е) (см. стр. 353), имеем:
I Q {t + z; Tz, t (g); F [? -j- z; Tz, t (g)]; | «С | Q {t -j- z; Tz, t (g); 0; s} j -j-
+1Q {t + Tz, t (g); F [t + z;Tz,t (g)]; s} — Q{t + z; Tz, t (g); 0; s} |
<| Q{t + z; Tltig); 0; e} | + X (e, D)\F [t + z; T?,t (g)] | < M (з) + X (8, D)D.
(28.24)
Мажорируя (28.22), с учетом (28.11) и (28.24), получаем:
СО
\St,g(F)]<{M (е) + Х(з ,D)D}K ^ exp {— а | z |} dz =
— СО
= ^{M(S) + X(S)JD)Z)}. (28.25)
360 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИГл. VI
Согласно (28.22), учитывая при этом неравенство (28.11) и свойство г) (см. стр. 353), находим:
оо
<К ^ ехр{ -<x|z|}|(?{« + z; Tf t{g)\ F [t z\ Tft(g))\e}~
— СО
-Q{t + z; T?!t(g°); F[t + z;Tft (g°)]; s} | dz<
CO
<Jfi:^exp{-a[z|}X(3,JD){[rff(g)-rzF((g)| + |JF[2 + z; Tft(g)]-
— CO
-Fit + z^Zttg^dz. (28.26)
Согласно (28.12) имеем:
| F [t + z; Tf t(g)\-F_\t + z-,Tlt (g0)] | = | F[t + z; Tf t (g)] -
— F [2 + z; Tf, t (§)] + F [t + z; Tf t (g)] — F [t + z; Tf t (g0)]! <
< | Ь [t + z; Tf t (g)] — F [t -j- z; Tf, t (g)] | Д | Tf t (g) — Tf t (g°)|,
в результате чего неравенство (28.26) представим в виде:
<K\(z,D)\\F{t + vTlt(g)]-F\t + z\Tlt(J)\\ X
ОО со
X ^ ехр { — а | z |} dz+K'k (г, D) (1+Д) ^ exp { — a | z j} | Tft (g) — Tf t (g°) \dz,
— CO —CO
или, принимая во внимание (28.19), вместо полученного неравенства можем написать следующее неравенство:
со оо
— F[t + z; Tft(g)]\\ ^ exp { — a | z |} dz + К\ (г, D) (1 + Д) ^ exp{-a|z| +
— ОО —СО
+ X(3,Z))(l + A)|zj}[g-g°|dz + _
||.F [t + z; Т? , (g)]—F [t + z; rf , Ы] II
+ K'K(b,D)( 1+Д)^^---------- 1 + л----- ’ X
ОО
X ^ ехр{ — a|z| + X(s,.D)(l + A)|z|}dz —
— ОО
-Ю.(.,Д)(1+Д) х
ОО
X ^ exp {—a\z\}dz = К\ (з, Z)) {| g — g° | (1 + ^) +
— СО
ОО
+ |1^-^!|} $ exp{-a|z| + X(s,Z))(l + A)|z|}dz. (28.27)
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИИ 361
До сих пор величины D и А были произвольными; подберем теперь их как функции параметра е: D = D(з), Д = Д(з), таким образом, чтобы
_D(s)-^0, Д (s) •—> 0 при 8—> О
и чтобы для всех s, меньших некоторого г, выполнялись неравенства:
2^{M(S) + \(S,D)D}<D; ~ X (з, D) (1 + Д) <; Д; )
rw m (28-28)
(1 + Д)Х(з,Д) <-|; < 1. )
Такой подбор D — D{s), Д = Д(г) всегда возможен, поскольку M(s)-> О, X(3, Х>) —> О при 8-» о, D-* 0.
В силу ТОГО, что
(1 + Д)Х(з, 2))<|,
очевидно, имеем:
со
^ exp { — a j z | X (1 + Д) | z |} dz < ~ . (28.29)
— ОО
Таким образом, учитывая (28.29), а также неравенства (28.28), вместо (28.25) и (28.27) окончательно получаем:
St,g(F)\<D(s), (28.30)
1_
2
откуда, в частности, следз^ет:
