Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
мы обозначим следующим образом:
8t = Tito(g°), (28.57)
где z — t — tQ. Следовательно, здесь переменная t, а также индекс при g равнялись сумме нижних индексов при Т:
t = z-\-t0,
и следовательно, подставляя (28.57) в (28.56), можем записать:
^ =G(e) + P{z + t0, gt,F[z + t0,gt],B). (28.58)
Рассмотрим теперь следующие выражения:
yz~Tz,t(s)\ Уг = Тх, /-^(g); (28.59)
в силу (28.56), (28.57) и (28.58) видим, что эти выражения будут удовлетворять следующем двум уравнениям:
dy* -G(s)+P{z + t; yz] F[z+t; yz]- e}, (28.60)
dz
dyl
dz
= G(a) + P{z + t + x; yi\ F [z + t + d; yl]\ e}, (28.61)
где z-{-t, z-\-t-\-x также представляют собой сумму нижних индексов соответственно у функций y, = Tftt(g) и y^.T?t+z(g), причем здесь дифференцирование по t заменено дифференцированием по z.
368 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
Условимся обозначать:
II Pz - />|| = sup I Р (t + -с, g, h,s)~P (t, g, h, a) I; (28.62)
t, g, h
|| F* - F II = sup I F(t + x,g) — F (t, g) I (28.63)
U 9
для t?R\ g?Q; heu?.
Вычитая (28.60) из (28.61), получим:
d (yl— у Л
^-----= Р {z-j-1 -|- х; уг\ F [z-j-1 + х; yz]; s} — P {z-f-1\ yz\ F [z -f-1\ yz]; s}.
(28.64)
Применяя обычный мажорационный прием, оценим, учитывая неравенства (28.14), (28.15), правую часть полученного уравнения.
Имеем:
| Р {z + ?-f-x; yz; F [z + t + х; yl]; в} — P{z + t; yz\ F [z + t\ yz]\ e}| = -\P{z-Art-\-z\ yl\ F [z 1 1; уz\ \ &} — P {z 1 z\ yz, F [z-\-t -\-z\ yz]\ s}-f-
-\- P {z-\-1z\ yz; F [z-\-1-^ z\yz}-, s} — P {z-\-t-\-z\ yz\ F [z 4- t\ yj; s} -f-+ ^{z + if + V, yz; F [z + t\ yz\, s} — P{z + t\ yz, F [z + г; y,]; s}|<
¦< X (s, D) {| yz yz | -f- \F (z -\-t -f-1; yz) — F (z -f-1 + x; yz) |} -f-
-X(e, D)\\F[z + t + z, yz} — F [z-\-1; yz\ j| + || P, - P ||, (28.65)
или, принимая во внимание, что согласно (28.12) имеет место неравенство
\F (z + г + х, y1) — F(z + t + z, yz)\<A]yz-yz], (28.66)
находим: d (yz- Ух)
dz
< X (8, D) (1 + Д) I yl - yz I + x (e, D) II F,-F ll + ll P,~P ||. (28.67)
Решая полученное дифференциальное неравенство, окончательно получим:
I У1 - У. К <вХР (г’ Д) (4 +'Л) I 2 |] - !}• (28-68)
С другой стороны, по определению преобразования Stig(F), (28.22) имеем:
СО
St+x,g(F) — Sttg(F)= I J (z) {Q [t + z + z\ yl\ F[t + z+z; yl}\ e] —
— CO
-Q[i + z; yz; F lt + z*yz];e}dz. (28.69)
Мажорируя правую часть (28.69), учитывая при этом, что
|/(z)| <Ке-« 1*1,
находим:
СО
\St+v,g(F)-St,e{F)\<K I e~^{l(e,D)(l + A)\yl-yz\ +
—СО
+ II <?т - Q II + х (s. D) II ^ - F 11}d%• (28.70)
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИИ 369
Выберем теперь D и Д такими же, как в лемме I, т. е. полошим, что для е < е выполняются следующие соотношения:
^{M(s) + \(s,D)D}<D; ^Х(е,Д)(1 + Д) <Д; |
(1 + Д)Х(е,Д)<|; 8±^К<1, ( (28'71)
где D (е) ¦—> О, Д (е) —> 0 при е—>0.
Принимая во внимание (28.68), из (28.70) получаем:
I й+,., (Л-й>в (*")!<
<К J e-W {х(1+Д)[^-7+^~Л1 (еШ+А)1*1-1)]+Ц^-(?|| +
— ОО
•о
+ Х||^_7Г|||й2 = Х J ^g-«|z|+X(l+4)|z|(|| _ /)|| _|_ X I! ||) —
— оо
- e-«W (II Р, - Р || + X |[F, - F II) + в—1*1 (II- QII +Х IIF, - F ||)} dz =
ОО
= К J + *.<1 +Д)|*1 (||7>,_/> || + XII_,Р||)+е—1*1 (|| ^_ ^ || +1| ||)}dz.
—ОО
(28.72)
Так как Х(1+Д)<-^-, то
ОО
К ^ exp{-a|z| + X(l+A)|z|}dz < (28.73)
— ОО
и из (28.72) имеем:
\St+„g(F)-St,g(F)\<^(\\P,-P\\ + \\\F,-F\\) +
+ ~(\\Qx~Q\\ + \\P,-P\\),
8Kl(e,D)
или, принимая во внимание, что -------^—- <1, окончательно получаем:
\S(+„g(F)-St,g(F)\<±\\F,-F\\ + ^{\\Q,-Q\\ + \\ Р,-Р\\),
или сокращенно
| (SF), - SF | < А || F, - ^ || + ^ {|1 - Q\\ +1| Р, - Р ||}. (28.74)
Заметим теперь, что в лемме II функции F (t, g) удовлетворяют
всем условиям, необходимым для выполнения принципа Каччиополи — Банаха. Поэтому уравнение
F = SF (28.75)
имеет единственное решение, которое мы обозначим, так же как и в лемме I, через
F = f(t, g, е). (28.76)
370 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. V
Очевидно, что в данном случае последовательность {^„1 будет равномерно сходиться к функции / (t, g, s):
|| Fn — /|| —> 0 при N —> со. (28.77)
Обозначим теперь ради сокращения:
^ = (28.78)
Тогда из (28.73), полагая поочередно: F — Fx, F =F2, ..., получим:
II (^i). - Ft II < «V. 11(^2), - F, || < 4 || [Fx)x — F, || + а, =
1К^з),-^з1К (i + |+4)^; •••
Вообще
II (Fn)i — Fn || < 2ат. (28.79)
Так как согласно (28.77)
Нш Fn = f,
N-+ СО
то очевидно, что
Иш (Fn)% = /,.
Дг-»со
Поэтому, переходя в (28.79) к пределу, получаем:
||(/),-/||<2от>
или, раскрывая это соотношение, принимая во внимание (28.78), видим, что везде на RQ для любого х имеет место неравенство
| / (* + х, g, в) — / (г, g, в) | < ^ {№, - Q || +1| Р, - Р |f}. (28.80)
Пусть теперь {tm} будет последовательностью из R такой, что для
некоторого е < s равномерно на выполняются соотношения:
|<?(*+ ''m. g> h,e)-Q (t, g, h,e) I -> 0,
|^(* +xm, g> К — g. h> s) I ~> 0
при m—> со.
Тогда для этого e
ll^m-?|]->o, ||^т-Р||->0
при то—> со, и, следовательно, согласно (28.80) равномерно на RQ выполняется соотношение
l/^ + V. g> s) - / (г> g> s)|-»° при т->со, доказывающее лемму II.
