Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
СО
F%U~SFP = \ J(z)(?r){t + z,TZ\,Fp,e}dz
{гьлб)
(/•= 1, 2,
Если | Fq"* [ < Л^0 (/• = 1, 2, ..., т), то принимая во внимание ограниченность производных от Q (t -f- z, g, h, s) no g, h до m-го порядка, имеем |i^r)|<iVi и, следовательно,
\F[r)-Fti)\<N0 + Nl = N2. (28.44)
В силу (28.19) находим
| /4Г) - F[r) | = | SF[r) - SF(0Г) | ==
= | / (z) [<?(r) {t + z, Tl\, Fx, e} - Q^r) {t + z, Tl°t, F0, sj]
dz
<
<\{s,D)\Fx-F0\ = \ (s ,D)M = N, | pp -pir) | = | SFir) - SF[r) | =
CO
= | $ J (z) [<?(r) {* + z> ^ s) ~ Q(r) {t + z, Ti\, Flt e}] dz | <
—oo
< X, (S, D)\F2 — F1\*c \ (s, D)\m = \n. (28.45) Аналогичным образом получаем оценки для
|^г)-^г)|,--.|^1-^г)|. •••
и убеждаемся, что члены ряда (28.42) не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов сходящегося ряда с положительными членами
iV0 + iV2+iV + liV + 4-iV+...
и поэтому последовательность, составленная из ограниченных и равномерно непрерывных функций Fn\ равномерно сходится
^Г)=ФФ. (28.46)
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ 365
С другой стороны, так как последовательность {F„} равномерно сходится к функции /х:
(что было показано), то эту последовательность можно почленно дифференцировать и, следовательно, согласно (28.46)
Ф = /< ),
т. е. fx(t, g, е) имеет ограниченные и равномерно-непрерывные производные по g до m-го порядка включительно.
Таким образом, мы установили, что функция / (t, g, е) удовлетворяет условиям леммы I, и поэтому для завершения доказательства леммы остается показать, что соотношения
h = f{t, g, е) (28.47)
определяют интегральное многообразие для рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (28.1).
Для этого раскроем уравнение F = SF.
Учитывая (28.22) и (28.47), получаем:
со
/(*,?,0= S J{z)Q{t + z\ TfZit(g)\ f[t + z-, TfZit(g)]\s}dz. (28.48)
— CO
Заменим здесь g наУ’*_го> to (g) и заметим, что согласно нашим обозначениям
Tl-to, t0 (g°) = gt, Tito(g°) = g°
имеем тождественно:
71/ 71/ _rnf
1 z, t 1 t—to, to — 1 z+l—to, to-
Тогда, вводя вместо z в качестве новой переменной интегрирования 1: = z -{- ? и полагая для упрощения
f{t\ Tft^to,to(g),s} = hl-Tft_tBt t0(g) = gt,
из (28.48) получаем:
со i
ht= I J{^ — gz, hx, &)dz = I J(%-t)Q(t, gx,hx,e)dz +
—CO —CO
CO
+ ?/ (*-*)?(*, h„ Z)dz. (28.49) t
Дифференцируя это равенство no t как по параметру, получим:
t
df>t _______ f dJ (г— t)
dt
—CO
= - 5 *)d. + J(-0)Q(t, gl,ht,S)-
CO
_ ^ dJJ*.-t) Q ^ ^ ^ e)dz_J( + 0^Q ^ s^
366 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ !Гл. VI
Учитывая (28.6) и условие разрыва (28.7), окончательно находим:
ОО --ОО
или согласно (28.49):
+ <?(«, gt, К е)-
С другой стороны, по определению оператора ________(о, io имеем:
^ ~G(e) + P(t, gt,ht,*)t
Таким образом,
gt^Tt-io.toig)', fit = f(t,gt, S) (28.50)
представляет решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (28.1), сводящееся при t = t0 к g; f(t0, g,&).
Итак, найденное многообразие (28.47) является интегральным многообразием для системы (28.1), удовлетворяет неравенствам (28.2) и
(28.3) (в силу выбора класса функций С (В, Д), для которого выполняется условие (28.2)), обладает по отношению к угловой переменной g периодом 2;с и, кроме того, если Р (t, g, h, s), Q (t, g, h, s) при 0 < s < s0 имеют в области RQUP ограниченные и равномерно непрерывные частные производные по g, h до m-го порядка включительно, то h = f(t,gte) также будет иметь ограниченные и равномерно непрерывные частные производные по g до т-го порядка включительно.
Таким образом, лемма I полностью доказана.
Укажем теперь следствие из доказанной леммы.
Следствие. Из уравнений
% = G{z)-\-P{t, g, h, е),
§=W+Q(t, g, h, e) видим, что угловая переменная g для решений, лежащих на многообразии
* = /(*, g, е),
удовлетворяет уравнению
| =G(z) + F(t,g,s), (28.51)
в котором
F (t, g, *) = P(t, g, f(t, g,e), e).
При этом на основании леммы I F (t, g, е) определена для всех вещественных t, g является периодической функцией g с периодом 2тс и удо-
влетворяет следующие соотношениям:
\F(t,g, s)|<M(e)->0, (28.52)
е-*0
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИИ 367
Кроме того, если P{t,g,h, а) обладает непрерывными производными по g, h до m-го порядка включительно, то F (t, g, е) также будет обладать непрерывными производными по g до m-го порядка включительно.
Лемма II. Если существует последовательность вещественных чисел {т;т} такая, что для некоторого а < s правые части уравнений
(27.105) удовлетворяют равномерно на RQUP соотношениям:
\Р(1 + 1т, 8, h, 8, h, ?)|->°, \ „о r/v
I Q V + *т, 8, h, е) - Q V, 8, h, е) I °.т ^ °° ’ I
то тогда для этого в равномерно на RQ будем иметь:
1/(Н- V. S, s)~f(t, g, е) I —> 0, т-> со, (28.55)
где / (t, g, е) — интегральное многообразие, для системы дифференциальных уравнений (27.105).
Доказательство. Возьмем некоторую функцию F (t, g) из класса С (D, Д), где, как и в лемме I, D и Д выбраны как функции е:
D = D(e), Д = Д (s).
Заметим, что при доказательстве леммы I решение уравнения
§=G[e) + P(t,g,F[t,g),B) (28.56)
