Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
t *
! f t
j/(*-0^dx = /(-0)At-/(*0-*)Ao+
to to
Принимая во внимание уравнение
-JH= -HJ, t*t0,
последние соотношения можем записать в виде:
dh.
С С
} J(z~t)-d?d*= ~J( + °)ht+) /('с-ОЯМх, t t
Г dh- , /•
^ /(x — t) ~^dz = / (— 0) ht — J (t0 — t) h0+ \ J (x — г) lih.jdx.
\
I
' (28.88)
Складывая теперь тождества (28.86) и (28.87) с учетом (28.? и условия разрыва для матрицы J (t) при г = 0:
^(-О) ht — J (-\-0)ht = ht,
374
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
[ГЛ. VI
убеждаемся, что
СО
К = ^ / (' - t) Q (х, gz, h~, s) dx + / (г0 - t) h0 (28.89)
to
тождественно, откуда следует, что наше решение (gt) ht) удовлетворяет интегро-дифференциальной системе (28.81) при A = h0.
Но решение интегро-дифференциальной системы существует лишь для | А | < а0; поэтому h0, стоящее в выражении (28.89), принадлежит Ueo.
С другой стороны, решение ht дифференциальной системы, принадлежащее области Uai, начальное значение которого k0 принадлежит U„0, мы назвали решением типа S.
Следовательно, решение типа S является решением интегро-дифференциальной системы при А = h0.
Учитывая, что интегро-дифференциальная система (28.81) имеет решение при | А | < а0, допускающее параметрическое представление:
ht = W (t0, t, gt, A, s),
и то, что решения типа S, т. e. решения дифференциальной системы, для которых [ h01 < о0, являются решениями интегро-дифференциальной системы при А -= h0, для решений дифференциальной системы можем написать:
ht = W(l0, t, gh А, г), \А\ < а0. (28.90)
Решения интегро-дифференциальной системы существуют при условиях:
s' < е, D(s') < О0, а0<р, |Л|<а0. (28.91)
Следовательно, решения типа S существуют при тех же условиях.
Но условия (28.91) эквивалентны условиям, при которых существует s-мерпое многообразие интегральных кривых для дифференциальных уравнений (27.105), параметрическое представление которого мы обозначили через h = f(t,g,s).
Таким образом, условия, при которых существует интегральное многообразие для дифференциальной системы, и условия, при которых существуют решения типа S, эквивалентны.
Так как решения типа S являются решениями той же дифференциальной системы, что и h = f(t,g,s),и существуют при тех же условиях, то отсюда следует, что все решения, лежащие на интегральном многообразии h -= / (t, g, s), принадлежат к типу S, и, следовательно, они являются одновременно решениями интегро-дифференциальной системы (28.81). Поэтому для каждого из них можно указать соответствующее А = А', т. е. эти решения можно представить в виде
h = f(l,g, *) = W(t0,t,g,A’,e'). (28.92)
Установив, таким образом, что всем решениям, лежащим на интегральном многообразии
h = g, s),
соответствует некоторое А = А', мы в силу того, что все решения иитегро-дифференцпальной системы являются решениями дифференциальной системы, в неравенстве (28.84), справедливом для решений интегро-дифференциальной системы, вместо одного из этих решений можем написать решение (28.92), лежащее на многообразии h—f(l,g,s) и зависящее от А = А'.
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ 375 В результате получимг
1
\f(t,g, 0 — x?(t0,t,g,A, s))<a(s,a0)e 21' !о1 \А'-А\, t>t0, (28.93)
где f(t,g,&) представляется формулой (28.92).
Так как решения типа S являются решениями интегро-дифференциальной системы при А = h0, то вместо решения интегро-дифференци-альной системы W (t0, t, g, A, s), заменяя произвольное фиксированное g на gt, можем взять решение дифференциальной системы ht, причем в правой части вместо А, соответствовавшего (t0, t, g, A, s), будет стоять h0, так как Ч1" равно ht при A = h0\ вместо А' можем поставить начальное значение f(t,g,&).
В результате вместо неравенства (28.84), имеющего место для решений интегро-дифференциальной системы, получим следующее неравенство, имеющее место для любого решения ht типа S:
|/(*.?г,е)-М<Р(е. ®о)е 2'* lo]\f(t0,g0,s)~h0\. (28.94)
Рассмотрим теперь множество точек {/г} из U„0, для которых А = (2q, 2q, g^f A, s), (A J Oqj
соответствующее данным фиксированным tot g0, е, и обозначим его через
ЗК(*0.&»6)-
Тогда, так как для всякого решения типа S выполняется соотношение (28.90):
= (^о> 8t’ А’ с)’ IА I ^
то, положив в нем t = tQ, получим:
— ЧР" (20, tot g0, A, »), | -4 I <T °o-
Следовательно, для всякого решения типа S h0 должно принадлежать m(t0,g0,z).
Отсюда следует, что если для t = t0 имеет место:
kt ? ^ (^о> gto’ ?)>
то соответствующее этим начальным условиям решение (gt, ht) не может принадлежать к типу S (так как в силу вышесказанного для решения ht типа S при t = t0 ht ? 2Л (t0, gto, г)) и, следовательно', согласно определению решений типа S, ht не будет оставаться в окрестности иЯ1 для t > t0. Таким образом, первое утверждение леммы III доказано.
Докажем второе утверждение. Как уже отмечалось, решение инте-гро-дифференциальной системы (28.81), обладающее свойствами а) и в), существование которого выше установлено, является в то же время решением дифференциальных уравнений (27.105).
Благодаря свойству б) имеем:
Ao = ^(WSoM,*J, (28.95)
и так как решение дифференциальной системы (27.105) всецело определяется начальными условиями, то очевидно, что если (gt, ht) есть какое-либо решение дифференциальных уравнений (27.105), для кото-
