Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 119

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 138 >> Следующая

§ 28. Некоторые свойства решений преобразованных уравнений в окрестности точек равновесия и замкнутых орбит
В настоящем параграфе рассмотрим некоторые свойства решений систем уравнений вида (27.105), к которым, как это показано в предыдущем параграфе, сводятся уравнения (27.1).
После того как нами будут подробно изучены уравнения (27.105), мы сможем перейти к формулировке и доказательству теорем применительно к уравнениям (27.1).
Итак, сформулируем и докажем вначале ряд лемм о свойствах решений системы уравнений (27.105), причем везде в дальнейшем будем полагать, что функции Р (t,g,h,s), Q(t,g,h,&), G (s) удовлетворяют условиям, указанным в предыдущем параграфе (см. стр. 352), причем Р (t, g, h, в), и ?г(з) всегда вещественны при любых комплексных h, лежащих в рассматриваемой области.
Лемма 1. Можно указать такое положительное е (s ^ е0), что для каждого положительного а, меньшего г, система уравнений
f = G(*) + P(t,g,h,t), }
% = Hh + Q(t,g,h, e) j имеет интегральное многообразие, представимое соотношением вида
h = f(t,g,s),
в котором f(t,g,s) как функция t, g определена на RQ и удовлетворяет неравенствам:
\f(t,g,s)\<D(e)<P, (28.2)
(28.3)
причем
Л(е)—>0, Д(е)—>0 при s—>0.
Функция / (t, g, в) обладает по отношению к угловой переменной g периодом 2тс.
Если функции P(t,g,h, е), Q(t,g,h, в) в области t?R, g ? Q, h?U?,
0 < s < s0, имеют ограниченные и равномерно непрерывные частные производные по g, h до lit-то порядка включительно, то / (t, g, е) также
356
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
[Гл. VI
будет иметь ограниченные и равномерно непрерывные производные по g также до т-го порядка включительно.
Доказательство. Рассмотрим матрицу Н и представим ее в виде
где U — произвольная матрица, имеющая обратную Z7"-1; Н+, Н_ — матрицы, для которых корнями характеристических уравнений являются корни уравнения, приведенного в условии д), соответственно с положительными вещественными частями для Н+ и отрицательными вещественными частями для НТаким образом, если уравнение (27.108) имеет s корней с отрицательными вещественными частями и п — s — 1 корней с положительными вещественными частями, то матрица Н_ будет s-ro порядка, а матрица Н+ — (п — s— 1)-го порядка.
Определим теперь матрицу J (t) при помощи следующих соотношений:
Определенная таким образом матрица J (t) будет удовлетворять дифференциальному уравнению:
где /j (t) = ezi — для простого корня уравнения (27.108), J} (t) = F} (t) ezi( — для кратного корня z = z}, (F} (t) — некоторый полином, степень которого пе превосходит порядка кратности z}), то, следовательно, в общем случае имеем:
Отсюда видим, что элементами матриц е~ч+1, е~п-{ соответственно будут:
Ввиду того, что экспонента растет быстрее, чем полином, можно всегда найти такие положительные постоянные а и К, для которых
(28.4)
(28.5)
±1= -///= -JH для I Ф 0
(28.6)
и условию разрыва при t = 0
./ (- 0) - /( + 0) = Е.
Так как общее решение уравнения (28.6) имеет вид
(28.7)
n—i
J(t)= 2
0=i
J(t)= 2 C]F] (I) ez>f = e-Ht
(28.8)
где jx, < 0,
где > 0.
(28.10)
(28.9)
5 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ 357
будет справедливо неравенство
(28.11)
на всей вещественной оси.
Заметив это, фиксируем положительные числа Х),Д(/)<р) и рассмотрим класс C(D, Д) функций F(t,g) со значениями из Еп_г, где Еп_! — (п — 1)-мерное эвклидово пространство, определенных на RQ, удовлетворяющих неравенствам:
\F(t,g)\<D, \F(t,g')-F(t,g")\<^\g'-g"\ (28.12)
и обладающих периодом 2г. по отношению к угловой переменной g.
Рассмотрим для некоторой функции F (t, g) из класса С (D, Д) уравнение вида
dgf==G{z) + P(t,g,F(t,g), з). (28.13)
Так как функция Р {t, g,h,s) обладает свойством г) (см. стр. 353) (где вместо а, характеризующего область определения h, в данном случае будет стоятьD, характеризующее область определения функций F (t, g)), то всюду на RQ имеем:
\ Р {t, g', F (t, g'), в) - Р (t, g’ ,0, в) \ D)\F (t, g')\,
\P(t,g',F{t,g'),*)-P(t,g',F(t,g'),*)\<\(*,D){\gl-g”\ +
+ \F(t,g')-F(t,g")\}
или учитывая, что функция Р (t, g,h,z) при Л = 0 является величиной порядка s и что функции F(t,g) удовлетворяют условиям (28.12), окончательно получаем:
|]Р (t, g', F (t, g'), s) | < M (e) + X (з, D) D, (28.14)
|P{t, g', F (t, g'), з) -P(t, g", (2, g"), s) | < X (S>2)) (1 + Д) j g' _g" |. (28.15)
Поэтому, задаваясь произвольными начальными условиями: g = g° при t = t0,
в силу теоремы Коши мы можем построить решепие уравнения (28.13) для любого t, причем оно будет единственным.
Обозначим его символически в виде
St — Tf, to (g°), где z = t —10. (28.16)
Вообще говоря, gt зависит от s как от параметра; одиако, так как в течение всего доказательства г рассматривается как фиксированное, достаточно малое число, то, чтобы излишне не усложнять записи формул, зависимость от в здесь не указывается. Аналогично будем поступать и в дальнейшем без специальных оговорок.
Заметим, что так как решению
g (0=^.0?°)
358 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [ГЯ. VI
соответствует начальное значение g°, а решению
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed