Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИИ 371
Из доказанной леммы вытекает следующее следствие.
Следствие. Если функции Р (t, g, h, г), Q(t,g,h,&) являются почти периодическими функциями t равномерно по отношению к g, h в области QZ7P, то тогда и F(t,g,s) оказывается почти периодической функцией равномерно по отвошению к g? 2 с частотным базисом функций P(t, g, h, s), Q{t, g, h, s). Справедливость этого следствия очевидна после сопоставления формулировки леммы И, следствия к леммо I и определения почти периодических функций (см. стр. 353).
Заметим, что из следствия к лемме II, а также пз самой леммы вытекает следующий результат:
Если f(t, х) есть функпия почти периодическая равномерно по отношению к ж, а множество {<оа} является ее частотным базисом, то тогда
F (t, х) также будет функцией почти периодической равномерно но отношению к а: с тем же частотным базисом.
Лемма III. Можно указать такие положительные постоянные е', у, С, о0, ох (причем о0 < ох < р, s' < е), что если s характеристических чисел матрицы Н имеют отрицательные вещественные части, а остальные п — 1 — s — положительные, то для каждого е<з', любого вещественного t0 и любого g0 из Q в некоторой окрестности U„0 существует s-мерное многообразие $Щ(?0, g0, s) точек {Щ со свойствами:
1) Если *) для t — t0
hteu4, но ht 1т (t0, g0, г), то тогда для некоторого t > t0
h~t ?Uai.
2) Если для t = t0
ht?m(t0, g0, s),
то тогда для всех t > t0
I ht - / it, gt, e) | < Ce-t I * — fo I | h0 — f (f0, g0, s) I,
где (g0, h0) представляют (gf, ht) при t — t0, у — положительная постоянная.
3) Если все характеристические числа матрицы имеют положительные вещественные части (s = 0), то многообразие 9К(?0, g0, з) вырождается в точку h = f(t0, g0, s).
4) Если, наоборот, вещественные части всех характердстических
чисел матрицы Н отрицательны, то многообразие (t0, g0, s) совпадает
со всей окрестностью Uao.
Таким образом, лемма утверждает, что если начальные значения какого-либо решения системы (27.105) не принадлежат к точечному s-мерному многообразию 9К(?0, go- г)> лежащему в {п— 1)-мерной окрестности Ueo, то с течением времени это решение будет удаляться от 5Ш it0, g0> е) и, в частности, выйдет из некоторой области Uai, где ох > о0. И наоборот, те интегральные кривые, начальные значения которых принадлежат 5Ш (?0, g0, з), с течением времени будут стремиться к s-мерному многообразию интегральных кривых, параметрическое представление которых мы обозначили через / (t, gt, г).
*) Здесь, как обычно, g = gt, h = ht обозначает решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (27.105).
372 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
Доказательство. Вместо дифференциальной системы (27.105) будем рассматривать интегро-дифференциальную систему:
ht=^J (’z-t)Q('z, g-, hx, e)dx + / (*0 — t)A\ to
dt =G(e) + P{t, gt, ht, e) (при t = t0, gt = g0),
dgt
(28.81)
где A — некоторый произвольный фиксированный вектор из Еп_1.
Применяя для исследования этой системы способы получения оценок, применявшиеся в лемме I, для значений е', о0, ох, подчиненных условиям
е' < s, Д(е') < о0, о0 < ох < р
(28.82)
(где е, р определены в лемме I), нетрудно установить следующий результат.
Для любого значения параметра е и любого вектора А из En_lt удовлетворяющих неравенствам
0 < s<e', \ А\ < а0:
а) система (28.81) имеет одно-единственное решение (gt, ht), для которого ht?Uaj для всех ?>?0;
б) для этого решения
ht = W(t0, t, gu А, в),
(28.83)
где 'F (t0, t, gt, А, е) — непрерывная функция своих аргументов, удовлетворяющая условию Липшица вида
¦ \W (f0, t, g\ А', е) - W (t0, t, g", А", в) | < v (в, a0)|g'-^| +
+ p(s,o0)e~zlt-~to{!A'-A"\, t>t0, (28.84)
где v(е, о0) и fi(s, a0) стремятся к нулю при е—» 0, о0—>0, а -^- — некоторая положительная постоянная.
Дифференцируя выражение
ht=\J ('-*)<? С1. St, К, s )dx + J (t — t0)A, to
по t как по параметру, на основании уравнения dJ = — HJ = — JH при t Ф 0
t < t0,
dt
я условия разрыва
J(-0) — J( + 0) = E видим, что решения интегро-дифферепциальной системы являются реше-
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ 373 ниями системы дифференциальных уравнений (27.105):
= G(e) + P(t, g, h, s), dJl = Hh + Q(t,g, h, s).
dt
dh
dt
Назовем решением типа S любое решение уравнений (27.105), для которого /г0 6 ?/•„„, ht ? Uai для всех t>t0.
Покажем, что всякое решение типа S является решением интегро-дифференциальной системы (28.81) при A — h0.
Для решения (gt,ht) системы (27.105), очевидно, имеет место
^ = Hht + Q(t,gl,ht,e). (28.85)
Умножим обе части этого тождества на /(х —f) (х — новая переменная интегрирования) и, проинтегрировав полученное соотношение в пределах от t до со и от t0 до t, получим:
Л Qfl f
J(% — t) Hhzd% + J(v-t)Q(i,g?,h;,s)dz, (28.86)
t t t
^ J (x — t)-~d% = ^ J (x — t) Hh^dx -j- ^ J (x — t) Q (x, gT, At, s) di. (28.87)
to to to
Интегрируя по частям левые части выражений (28.86) и (28.87), находим:
т СО
r,,nu С dJ(z—t)
^/(x-o-^dx = -j( + 0)ht-yj{zdz °Mx,
