Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
П(t,g,h, s) = u(t, g + vt,k, s),
Г (t, g, h, s) = Г (t, g + vt, h, e),
причем П (t, g, h, s), Г (t, g, h, e) будут обладать по отношению к t тем же периодом Т.
В рассматриваемом частном случае (27.103), переходя к новой угловой переменной & согласно формуле
g + ')t = g-\-~ = b,
вместо системы (27.102) получим уравнения:
dz
dt
rfi, л I (27.104)
правые части которых обладают периодом гТ по отношению к г.
Как видно, уравнения (27.102), в частном случае (27.103), и уравнения (27.104), к которым приводятся основные уравнения:
-^Г = еи> + sW(t, <р, Ъ),
!^ = еНЪ + гВ{1,% Ъ),
заменой переменных
<р = g + ей (t, g, h, s), b = h + ev (t, g, h, s), et = z, g-j-4t = d
могут быть сведены к следующему типу уравнений:
? = G(e) + P(t,g, h,e),
^- — Hh + Q(t, g, h, г),
(27.105)
при этом в силу указанных свойств функций U(t,g,h,e) и Г (г, g,h,e) можно указать такие положительные числа s0, Pl (р„ < S), что будут выполнены условия:
а) функция G(г) определена для 0 < в < в0;
б) функции Р (t, g,h,s), Q (t, g,h,z) определены в области
t?R,gSQ,hsUri, 0<е<еО| и обладают периодом 2тс по отношению к угловой переменной g ^напомним, что в частном случае (27.103) в уравнении (27.104) П^-^-, g,/г, е^, Г (-7 , g, К обладают периодом вТ по отношению к
§ 27] | ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ 353
в) G(е) и P(t,g,h,a) могут принимать лишь вещественные значения;
г) для t € R, g € Q, 0 < s < е0 имеют место неравенства:
|/>(*,?, 0, е)|<М(е); |<?(*,g,0,e)|<M(e), (27.106)
где М(е)-^0 при е —> 0;
д) для любого положительного а < рх в области
* € R, g' 6 Q, g" 6 2, h' 6 Ue, h" 6 U„ 0 < е < е0,
имеют место неравенства:
|jP(^g'I/2',e)-jP(^g",r)?)|<X(S!a){|g'-g"| + |/2'-/2"|}, \Q{t,g',h',s)-Q(t,g",h" ,s)\<\(e,c){\g’-g''\ + \h’-h"\}, AU/)
в'которых X(е, а) —> 0 при $—>0, а —> 0;
е) все вещественные части корней рх, . . ., рп_г уравнения
Det | р1п_г — Н\ = 0 (27.108)
отличны от нуля.
Отметим, что в статическом случае, когда отсутствует зависимость от угловой переменной ср, основные уравнения (27.1) в результате аналогичных преобразований будут приведены к системе:
~ = Hh + Q(t,h,s), (27.109)
при этом можно указать такие г0 и рх, что будут выполняться условия:
а) функции Q(t,h,s) определены в области
t?R, h?Ufi, 0 < s < е0;
б) для t ? i?, 0 < s < s0, имеет место неравенство
|<2(г,0,з)|<Л#(в), (27.110)
где М (а) •—> 0 при а —> 0;
в) для любого положительного a < рх в области
t?R, h'?Ua, h"?U„ 0 < а < $0, имеет место неравенство
| Q(t,h',s)-Q (t, h", е) | < X (а, a) { | h' - h" \ }, (27.111)
в котором X(s, a) —> 0 при s—>0, a—»0;
г) все вещественные части корней характеристического уравнения
Det | р!п_г — Х'о (?°) | = 0 (27.112)
отличны от нуля.
Введем сейчас некоторые определения, относящиеся к теории почти периодических функций.
Рассмотрим какую-либо функцию f(t,x), заданную на RE, где Е обозначает некоторое множество значений х.
Мы будем говорить, что j(t,x) является почти периодической функцией t равномерно по отношению к х, если любому tj > 0 можно сопоставить положительное I (т]) таким образом, что в любом интервале на R
354
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
[Гл. VI
длины /(т)) лежит, по крайней мере, одно г (почти период для tj), для которого везде на RE справедливо неравенство
Для этих почти периодических функций существует счетное множество частот {Х;-}, не зависящих от х, такое, что для всякого X, не принадлежащего к нему, выполняется соотношение
Пусть {со*} представляет счетное множество вещественных чисел, обладающее свойствами:
1) между ц)а не существует нетривиальных линейных соотношений
с целочисленными коэффициентами;
2) всякое Ху может быть представлено линейной комбинацией со„ с целочисленными коэффициентами.
Такое множество {со„} условимся называть частотным базисом данной почти периодической функции. В частности, для периодической функции частотный базис состоит из одного элемента; для квази-периодических функций частотный базис состоит из конечного числа элементов.
Как известно, частотный базис обладает следующим важным свойством: если хт есть такая последовательность, что для любого соа
Это свойство может также служить и определением рассматриваемых почти периодических функций.
Именно, если {соа} представляет счетное множество линейно независимых вещественных чисел и если для каждой последовательности тт, для которой справедливо (27.113), будет справедливо также и (27.114) равномерно на RE, то тогда f{t,x) будет почти периодической функцией равномерно по отношению к х, а {ша} будет ее частотным базисом.
Условимся называть представление s-мерного интегрального многообразия St
для всех t, Clt С2, ..., Cs, принадлежащих области их изменения.
т
е4“«^т—> 1
при тп
со
(27.113)
при m —>
оо.
(27.114)
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИИ 355
Заметим также, что для почти периодической функции / (t, х) всегдй существует предел
t + T
lim^- \ / (t, х) dt,
Т-> о° 1 J
причем сходимость к пределу будет равномерной по отношению к t, х.
Таким образом, условие б), наложенное нами на правую часть уравнения (27.1) X(t,x) (см. стр. 336) будет всегда выполняться, если функция X (t, х) является почти периодической по t равномерно по отношению к х 6 D9.
